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recherche de dérivé

Posté par loo (invité) 07-12-05 à 17:17

Bonjour,

J'ai un exercice à faire pour demain dont voici la question à laquelle je bloque:
"Soit f la fonction telle que f(x)= (sin x)/(cos x)^3
Démonter que f est dérivable sur [0; /4] et que, pour tout x appartenant à cet intervalle :
f'(x) = [3/(cos x)[sup][/sup]4]-[2/(cos²x)]"

J'ai montré quelle était dérivable sur l'intervalle. Néanmoins quand j'ai calculé la dérivée, je trouve : (en prenant f de la forme u/v et par conséquent sa dérivée de la forme f'(x) = (u'v - uv')/v²

f'(x) = [(cos x)^4 + 3(sin x)^4]/(cos x)^6

Pourriez-vous m'aider s'il vous plait
Merci

Posté par
patrice rabillerre : recherche de dérivé 07-12-05 à 18:33

Bonsoir,

Si on pose u(x)=sin x  et v(x)=(cos x)^3
alors on a :  u'(x)=cos x  et  v'(x)=-3 (sin x)(cos x)^2

Donc :f'(x)=\frac{cosx(cosx)^3-sinx(-3sinx(cosx)^2)}{(cosx)^6}
Ce qui fait : f'(x)=\frac{(cosx)^4+3(sinx)^2(cosx)^2}{(cosx)^6}
ou encore : f'(x)=\frac{(cosx)^2+3(sinx)^2}{(cosx)^4} en simplifiant par (cosx)^2
Donc f'(x)=\frac{3(cosx)^2+3(sinx)^2-2(cosx)^2}{(cosx)^4}
Donc : f'(x)=\frac{3-2(cosx)^2}{(cosx)^4} car (cosx)^2+(sinx)^2=1
Finalement on a bien : f'(x)=\frac{3}{(cosx)^4}- \frac{2}{(cosx)^2}


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