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Récurrence I

Posté par
Slaiy13
09-09-20 à 22:04

Bonsoir !
Je dois résoudre un exercice d'annale du concours c agro à propos de récurrence or je n'y arrive absolument pas et ne trouve aucune piste, merci d'avance pour votre aide !

Soit une suite In telle que n ,
I_{n} + I_{n+1} = \frac{2}{2n+1}
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a :
I_{0}+(-1)^{n}\times I_{n+1}= 2{\sum_{k=0}^{n}{\frac{(-1)}{2k+1}}}

Posté par
flight
re : Récurrence I 09-09-20 à 22:14

salut

une reccurence ne serait meme pas utile , en exprimant   Ik  en fonction de Ik-1   la réponse tombe immediatement

Posté par
flight
re : Récurrence I 09-09-20 à 22:16

pour t"aider

Io  +   I1 = 2
I1  +   I2 = 2/3
I2  +   I3 = 2/5

....etc

Posté par
flight
re : Récurrence I 09-09-20 à 22:18

et ton (-1) dans la somme il doit manquer des exposants sauf erreur

Posté par
Slaiy13
re : Récurrence I 09-09-20 à 22:24

Oups oui en effet c'est (-1)k
On me demande quand même de le faire par récurrence, je peux quand même faire la récurrence en passant par Ik en fonction de Ik-1 ?
D'ailleurs je ne comprend pas comment exprimer ça on n'a jamais vu de cas où on passait par Ik

Posté par
Kernelpanic
re : Récurrence I 09-09-20 à 22:33

Bonsoir,

flight c'est exactement de la récurrence qui est cachée derrière ton propos.

Slaiy13 essaye de calculer la relation pour n = 1 et n = 2 en utilisant la propriété sur les In et In+1, normalement tu vas comprendre comment procéder pour l'hérédité (bien-sûr, ce n'est pas l'hérédité, c'est juste pour comprendre).

Posté par
flight
re : Récurrence I 09-09-20 à 22:52

salut KernelPanic  , par récurrence j'y voyais plutôt la petite  recette scolaire  avec la propriété à démontrer qu'on considère comme vraie au rang n  et dont il faut montrer que c'est aussi vrai au rang n+1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence I 10-09-20 à 08:10

Bonjour,
Personnellement, je commencerais par écrire l'égalité \; I_{0}+(-1)^{n}\times I_{n+1}= 2{\sum_{k=0}^{n}{\dfrac{(-1)^k}{2k+1}}} \; pour n = 0 .
Comme ça, l'initialisation serait traitée
Slaiy13, à toi de te lancer.

Posté par
carpediem
re : Récurrence I 10-09-20 à 09:10

salut

je passe juste un coup ...

ce que dis flight peut aider à comprendre comment faire la récurrence mais en l'écrivant

flight @ 09-09-2020 à 22:16

pour t"aider

Io  +   I1 = 2
I1  +   I2 = 2/3
-I2  -   I3 = -2/5
I_3 + I4 = 2/7
-I_4 - I_5 = -2/9
...

....etc

Posté par
Kernelpanic
re : Récurrence I 10-09-20 à 10:15

flight oui je sais, et je ne critiquais pas tes propos ne t'en fais pas

c'est juste qu'il vaut mieux justement faire cette récurrence proprement dans un exercice qui a pour but d'être corrigé en TD etc... ; quand on fait un exo chez-soi pour s'entraîner et qu'on voit à l'oeil comment la récurrence fonctionne, on peut s'en passer (à condition d'être vraiment sûr de voir comment ça marche... )

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