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récurrence

Posté par
fandesmaths97 08-10-11 à 15:08

bonjour tout le monde! j'ai besoin d'un peu d'aide!
Exercice 1
1. Soit f la fonction définie sur R par : f(x)= (1/4)x² +2 et C sa courbe représentative.
Montrer que, pour x appartient à R: f(x) >= x+1.

2.On considère la suite (Un) définie sur N par u0=3 et la relation de récurrence u(n+1)= f(Un).

a) Prouver que, pour tout n appartenant à N, U(n+1) - Un >= 1.
b) En déduire le sens de variation de la suite (Un).
c) Montrer que, pour tout n appartenant à N, Un - U0 >= n.
d) En déduire le comportement de la suite (Un) en + l'infini.
Merci de me donner un coup de pouce pour les questions c et d! merci d'avance.
bon week-end.

Posté par
Labore : récurrence 08-10-11 à 15:46

Bonjour,
2c)tu utilises le résultat du 2a
U_n-U_{n-1}\geq 1 \\ U_{n-1}-U_{n-2} \geq 1 \\ .... \\ U_2-U_1\geq  1 \\ U_1-U_0\geq 1
en sommant les colonnes
U_n-U_0\geq n

Posté par
fandesmaths97re : récurrence 08-10-11 à 16:05

on ne peut pas également le faire par une formule de récurrence?

Posté par
Labore : récurrence 08-10-11 à 16:09

OUI

Posté par
fandesmaths97re : récurrence 08-10-11 à 16:11

car j'ai commencé et je bloque a l'étape, supposons que pour tout n de N, un-u0>=n
montrons alors que un+1-u0>=n+1 ? là je bloque! merci de m'aider.

Posté par
fandesmaths97re : récurrence 09-10-11 à 11:01

?

Posté par
Labore : récurrence 09-10-11 à 11:53

hérédité
U_n-U_0\geq n \\ U_n\geq n+3 \\ U_n^2 \geq (n+3)^2
\frac{1}{4}U_n^2+2-3\geq \frac{1}{4}(n^2+6n+5)
{U_{n+1}-3\geq \frac{1}{4}(n^2+6n+5)
comparons U_{n+1}-U_0 à n+1
\frac{1}{4}(n^2+6n+5)-(n+1)=\frac{1}{4}(n^2+2n+1)=\frac{1}{4}(n+1)^2\geq 0 \\
\frac{1}{4}(n^2+6n+5)\geq n+1 \\ U_{n+1}-U_0\geq n+1

Posté par
fandesmaths97re : récurrence 09-10-11 à 12:06

je ne comprends pas les deux dernières lignes de l'hérédité. comment passe-t-on de Un²>(n+3)² à 1/4*Un² +2 -3> 1/4*(n²+6n+5)?

Posté par
Labore : récurrence 09-10-11 à 12:55

on  suppose que
U_n-U_0\ge n \\ U_n\ge n+U_0 \\
or
U_0=3 \\ U_n\ge n+3
les termes sont positifs
la fonction f(x)=x^2 est croissante sur R+
donc
U_n^2\ge (n+3)
ensuite je calcule U_{n+1}...
je n'ai pas détaillé le calcul , je pense que tu dois savoir le faire

Posté par
fandesmaths97re : récurrence 09-10-11 à 13:17

oui j'ai réussi finalement. et pour la d on utilise le théorème des gendarmes?
merci encore, bonne journée!

Posté par
Labore : récurrence 09-10-11 à 14:10

Citation :
on utilise le théorème des gendarmes?

je ne vois pas d'encadrement...
U_n-3\geq n+1 \\ U_n\geq n+4 \\ \lim_{n\to\infty}n+4=+\infty

Posté par
artiny15re : récurrence 09-10-13 à 14:16

bonjours j'ai le meme exercice jai tout réussi mais jai une question en plus que je ne comprend pas et que j'aurai besoin d'aide
la question est la suivante:
A partir de quel rang N, est-on certain que pour tout entier n >= N,
Un >= 10 puissance 6 ?

merci d'acvance
au revoir

Posté par
Labore : récurrence 09-10-13 à 15:19

avec excel:
U_6=48021,902<10^6
U_7=5  665 257 711 >10^6 \\

Posté par
kulure : récurrence 17-11-19 à 16:40

Labo @ 09-10-2011 à 11:53

hérédité
U_n-U_0\geq n \\ U_n\geq n+3 \\ U_n^2 \geq (n+3)^2
\frac{1}{4}U_n^2+2-3\geq \frac{1}{4}(n^2+6n+5)
{U_{n+1}-3\geq \frac{1}{4}(n^2+6n+5)
comparons U_{n+1}-U_0 à n+1
\frac{1}{4}(n^2+6n+5)-(n+1)=\frac{1}{4}(n^2+2n+1)=\frac{1}{4}(n+1)^2\geq 0 \\
\frac{1}{4}(n^2+6n+5)\geq n+1 \\ U_{n+1}-U_0\geq n+1


Bonjour
je comprends pas les 2 derniers passage de l'hérédité même en développant, on pourrait m'expliquer.
merci


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