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Récurrence

Posté par
LaMoonwalkeuse
06-09-14 à 16:45

Bonjour!
J'ai un exercice de récurrence à faire, mais je rencontre un petit problème en le faisant...
Si quelqu'un pourrait me dire ce qui ne va pas, ce serait bien sur avec un immense plaisir!

Énoncé:
Démontrer par récurence que pour tout n * :
(nk=1)(n+k)=2n(nk=1)(2k-1)

Ce que j'ai fait:
Montrons par récurrence sur n*, la propiété P(n) : "(nk=1)(n+k)=2n(nk=1)(2k-1)" est vraie.

- Initialisation: pour n=1
D'une part : (1k=1)(1+1)=2.
D'autre part : 21(1k=1)(21-1)=21=2
Donc P(1) est vraie.

- Hérédité: Soit n*.
On suppose que P(n) est vraie.
Montrons que P(n+1) est vraie.
D'une part (n+1k=1)(n+1+k)=(nk=1)(n+k)(n+1+(n+1))
                                            =(nk=1)(n+k)(2n+2)
                                            =2n(nk=1)(2k-1)(2n+2)
D'autre part 2n+1(n+1k=1)(2k-1)=2n2(nk=1)(2k-1)(2(n+1)-1)
                                                  =2n(nk=1)(2k-1)(2n+1)2
                                                  =2n(nk=1)(2k-1)(4n+2)
Les résultats que je trouve ne sont pas similaires... J'ai dus faire quelque chose qu'il ne faut pas, mais je ne vois pas quoi...

Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider!

Posté par
Robot
re : Récurrence 06-09-14 à 17:18

\prod_{k=1}^{n+1} (n+1+k) =\left(\prod_{k=1}^n (n+k)\right)\,(n+1+(n+1))
ne va pas. Il y a des choses en trop et des choses qui manquent ! Reprends ça.

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Récurrence 06-09-14 à 18:17

Je ne vois pas... C'est la première fois que j'utilise ce symbole de produits .
Peut-être devrais-je écrire : (n+1k=1)(n+k)=((nk=1)(n+k))(n+(n+1)) ?

Posté par
Robot
re : Récurrence 06-09-14 à 18:28

Alors écris explicitement ces produits pour de petites valeurs de n, si tu manques d'habitude. Tu verras.

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Récurrence 06-09-14 à 19:06

C'est ce que j'ai fais juste avant de commencer à faire l'hérédité, et c'est à ca que je suis arrivée. Je l'ai refais, mais je ne vois rien qui change.

Posté par
Robot
re : Récurrence 06-09-14 à 19:54

Remets encore l'ouvrage sur le métier !
Ecris-le explicitement ici pour n= 4.

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Récurrence 06-09-14 à 20:03

Est ce que je dois le faire avec (n+1k=1)(n+k)=((nk=1)(n+k))(n+(n+1)) ou avec (n+1k=1)(n+k)=((nk=1)(n+k))(n+1+(n+1)) ?

Posté par
Robot
re : Récurrence 06-09-14 à 20:12

Essaie pour voir, mais fais-le !
Il s'agit de compare \prod_{k=1}^{n+1} (n+1+k) et \prod_{k=1}^{n} (n+k)

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Récurrence 07-09-14 à 10:10

Pour n=4, j'ai:
(4+1k=1)(4+1+k)=678910

(4k=1)(4+k)=5678

Je remarque en effet quelque chose, mais je n'arrive pas à l'interpréter autrement que ce que j'ai fais auparavant.

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Récurrence 07-09-14 à 12:37

Si je l'écris avec des n, ca me donne:

\prod_{k=1}^n(n+1+k)=(n+2)(n+3)...(2n+1)(2n+2)

\prod_{k=1}^n(n+1+k)=(n+1)(n+2)...(2n)

Je vois bien qu'il y a un truc, mais je n'arrive pas à l'interpréter.

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Récurrence 07-09-14 à 14:52

Citation :
\prod_{k=1}^n(n+1+k)=(n+1)(n+2)...(2n)


Pardon... C'est plutôt :
\prod_{k=1}^{n}(n+k)

Posté par
Robot
re : Récurrence 07-09-14 à 20:20

Tu devrais être capable d'écrire \prod_{k=1}^{n+1} (n+1+k) = \prod_{k=1}^{n} (n+k) \times {\mbox{quelquechose}} . Surtout que tu sais ce que tu dois trouver. Allez, du courage !

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Récurrence 07-09-14 à 21:29

Je suis arrivée à ça en m'aidant de la deuxième partie de l'hérédité :

\prod_{k=1}^{n+1}%20(n+1+k)%20=%20\prod_{k=1}^{n}%20(n+k)%20\times%20{\mbox2}%20{\mbox(2n+1)}
                              = 2^n%20\prod_{k=1}^{n}%20(2k-1)\times%20(4n+2)

Posté par
Robot
re : Récurrence 07-09-14 à 21:31

Et comprends-tu bien cette formule ? (Reviens aux exemples, si tu peines).

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Récurrence 07-09-14 à 21:47

\prod_{k=1}^{4+1}%20(4+1+k)%20=%20\prod_{k=1}^{4}%20(4+k)%20\times%20{\mbox2}%20{\mbox(2\times%204+1)}
 \\ 
 \\ 
 \\ \prod_{k=1}^{n+1}%20(n+1+k)%20=%20\prod_{k=1}^{n}%20(n+k)%20\times%20{\mbox2}%20{\mbox(2n+1)}

Non... Je ne vois pas de quelle formule il s'agit.

Posté par
Robot
re : Récurrence 08-09-14 à 08:23

Voyons. Si tu écris
\prod_{k=1}^{n} (n+k) = \prod_{\ell=n+1}^{2n} \ell     et   \prod_{k=1}^{n+1} (n+1+k) = \prod_{\ell=n+2}^{2n+2} \ell,    n'es tu pas capable de voir par quoi il faut multiplier et diviser \prod_{k=1}^{n} (n+k) pour obtenir \prod_{k=1}^{n+1} (n+1+k) ? Quels facteurs en plus, quel facteur en moins dans le deuxième produit ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Récurrence 08-09-14 à 09:01

Bonjour

tu l'avais ! à condition d'ouvrir un peu les yeux !

Citation :
Si je l'écris avec des n, ca me donne:

\prod_{k=1}^n(n+1+k)=(n+2)(n+3)...(2n+1)(2n+2)

\prod_{k=1}^n(n+k)=(n+1)(n+2)...(2n)


\prod_{k=1}^n(n+1+k)=(n+2)(n+3)...(2n+1)(2n+2) = \dfrac{{\red (n+1)}(n+2)(n+3)...(2n)(2n+1)(2n+2)}{\red n+1} = \dfrac{(2n+1)(2n+2)\prod_{k=1}^n(n+k)}{n+1} ...

Posté par
Robot
re : Récurrence 08-09-14 à 10:04

Bon, ben tu y serais peut-être arrivé finalement, mais lafol l'a fait à ta place. Tant pis.

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Récurrence 08-09-14 à 21:43

Merci beaucoup pour votre aide!!

Posté par
abalpha
re : Récurrence 05-11-14 à 21:56

n+1                                                n
(n+1+k) = (n+1+k) (2n+2)
k=1                                              k=1
                    n
         = 2 (n+k) (2n+1) (n+1)/(n+1)
               k=1        n+1
         =2 ^ (n+1)     (2k-1)  
                              k=1                  
d apres l hypothese de l'hérédité

Posté par
lafol Moderateur
re : Récurrence 06-11-14 à 08:37

abalpha, somme et produit, ce n'est pas vraiment la même chose, et de toutes façons ton post est illisible, et arrive quand même deux mois après la bataille ....



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