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Récurrence

Posté par
Azowel 01-05-19 à 15:47

Bonjour,
Me voilà bloqué depuis quelques temps sur une démonstration par récurrence, la voici:
Soit n*. On appelle fn la fonction définie sur ]-1 ; +[ par fn(x) = ln(1+xn) et In = ln(1+xn)dx (intégrale entre 0 et 1)
1) Montrer que pour tout n*, on a 0 Inln 2

Merci de me donner un coup de main ^^

Posté par
Camélia Correcteurre : Récurrence 01-05-19 à 15:51

Bonjour

Aucun besoin de récurrence.

Pour x\in[0,1] on a 0\leq \ln(1+x^n) \leq \ln(2)

Posté par
malou Webmasterre : Récurrence 01-05-19 à 15:52

et si tu cherchais dans une autre direction .....

Posté par
Barneyre : Récurrence 01-05-19 à 15:52

Bonjour,

s'agit-il de log népérien ? d'une intégrale I d'indice n ?

Posté par
Azowelre : Récurrence 01-05-19 à 16:54

Merci pour votre aide
C'est un logarithme népérien avec une intégrale I d'indice n.

Posté par
malou Webmasterre : Récurrence 01-05-19 à 16:55

oui, mais comme on t'a dit, aucune récurrence là dedans
simplement un bon brave théorème de la positivité....

Posté par
alb12re : Récurrence 01-05-19 à 18:20

salut,

\\ \forall\;x\in[0\;;1]\,,\,1\leqslant1+x^n\leqslant2 \\

\\ $ donc $ \\

\\ \forall\;x\in [0\;;1]\,,\,0\leqslant\ln(1+x^n)\leqslant\ln{2} \\

\\ $ donc $ \\

\\ \begin{aligned} \\ 0\times(1-0)\leqslant\int_0^1\ln(1+x^n)\,\mathrm{d}x\leqslant\ln{2}\times(1-0) \\ \end{aligned} \\

\\ $ donc $ \\

\\ \begin{aligned} \\ 0\leqslant\int_0^1\ln(1+x^n)\,\mathrm{d}x\leqslant\ln{2} \\ \end{aligned} \\


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