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Récurrence

Posté par
Anonyme53753
29-10-21 à 15:42

Bonjour, j'ai un DM en spé maths à faire mais je bloque sur cette question :
On a u0=1/2     et      un+1=3un/1+2un

Et on doit démontrer par récurrence que un=3n/3n+1 pour tout n€

J'ai réussi la phase d'initialisation

Mais pour la phase d'hérédité je bloque :
ce que j'ai fait c'est :

un+1 = \frac{3un}{1+2un} = \frac{3*\frac{3^n}{3^n+1}}{1+2*\frac{3^n}{3^n+1}} = \frac{\frac{3*3^n}{3^n+1}}{1+\frac{2*3^n}{3^n+1}} = \frac{\frac{9^n}{3^n+1}}{1+\frac{6^n}{3^n+1}} = \frac{\frac{9^n}{3^n+1}}{\frac{3^n+1+6^n}{3^n+1}} = \frac{\frac{9^n}{3^n+1}}{\frac{1+9^n}{3^n+1}}

= \frac{9^n}{3^n+1}*\frac{3^n+1}{1+9^n} = \frac{9^n(3^n+1)}{(3^n+1)(1+9^n)} = \frac{9^n}{9^n+1}

Du coup, je ne retrouve pas mon obj, savez vous ce qui ne va pas ?
Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteur
re : Récurrence 29-10-21 à 15:45

Bonjour

Erreur de calcul:

3*3^n\neq 9^n

Bravo pour ton Latex!

Posté par
Anonyme53753
re : Récurrence 29-10-21 à 15:54

Bonjour,
d'accord merci, mais je ne vois pas ce que ça peut faire ?
Merci !

Posté par
Anonyme53753
re : Récurrence 29-10-21 à 15:55

Ah ! 3^n+3^1=3^n+1?

Posté par
Anonyme53753
re : Récurrence 29-10-21 à 16:14

Du coup, j'ai refait tout le calcul et je trouve:
un+1 = \frac{3^n^+^1}{3^n+1+2*3^n}

On peut simplifier par 3n+1 + 1 pour le dénominateur?
Merci d'avance

Posté par
sanantonio312
re : Récurrence 29-10-21 à 16:20

Bonjour, tu y es presque. N'oublie pas ce que tu veux démontrer.
Le numérateur est bon.
Reste une opération simplissime à faire pour le dénominateur.

Posté par
Anonyme53753
re : Récurrence 29-10-21 à 16:30

Bonjour,
l'objectif est bien 3n+1 / 3n+1+1 ?
parce que je ne trouve pas comment on peut le simplifier facilement avec deux bases différentes pour la multiplication...
Je pense qu'on peut aussi écrire le dénominateur 3n*3+1 mais ça ne m'aide pas vraiment...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Récurrence 29-10-21 à 16:41

Le dénominateur:

3^n+1+2*3^n=3*3^n+1=?

Posté par
Anonyme53753
re : Récurrence 29-10-21 à 16:44

= 3n+1+1
Merci ! Mais comment on supprime le 2?

Posté par
sanantonio312
re : Récurrence 29-10-21 à 16:49

2 pommes + 1 pomme = 3 pommes
Ça marche aussi avec 3n

Posté par
Anonyme53753
re : Récurrence 29-10-21 à 16:53

d'accord merci, effectivement c'était très simple...

Merci beaucoup à vous deux !



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