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Récurrence

Posté par
Duplombenor
02-10-22 à 22:13

Bonjour,
Voici un exercice:
De montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n nul on a: xn-1 =(x-1)(1+x+x2+...+xn-1

Considérons la propriété P(n) définie pour tout entier naturel n non nulle définie par: P(n): xn-1 =(x-1)(1+x+x2+...+xn-1
Initialisation
D'une part x1-1 = x-1
D'autre part (x-1)1= x-1

Hérédité  
Supposons que la propriété P(n) et vérifier pour tout entier naturel k différent de 0 fixé :
xk-1 =(x-1)(1+x+x2+...+xk-1 )
Montrons que P(n) restera au rang k +1

Voilà Aidez moi pour la suite

Posté par
hekla
re : Récurrence 02-10-22 à 22:34

Bonsoir

 (x-1)(1+x+x^2+\dots+x^{n-2}+x^{n-1})= x^n-1

Montrons que   (x-1)(1+x+x^2+\dots+x^{n-1}+x^{n})= x^{n+1}-1

 (x-1)(1+x+x^2+\dots+x^{n-2}+x^{n-1})+(x-1)x^n

Relation de récurrence et on simplifie.

Posté par
Duplombenor
re : Récurrence 02-10-22 à 22:41

hekla @ 02-10-2022 à 22:34


 (x-1)(1+x+x^2+\dots+x^{n-2}+x^{n-1})+(x-1)x^n

Comment avez vous trouvé ça svp ?

Posté par
Arthack
re : Récurrence 02-10-22 à 22:45

Dans ton hérédité, multiplie par x des deux cotés et ajoute (x-1), en factorisant par (x-1) à droite tu devrai trouver ce que tu veux montrer.

Posté par
hekla
re : Récurrence 02-10-22 à 22:52

On veut montrer que c'est vrai pour n+1

on a donc à calculer  (x-1)(1+x+x^2+\dots+x^{n-2}+x^{n-1}+x^n)=
on décompose

on a  (x-1)\bigg((1+x+x^2+\dots+x^{n-2}+x^{n-1})+x^n\bigg)

on développe pour obtenir ce que j'avais écrit

Posté par
tetras
re : Récurrence 03-10-22 à 10:07

bonjour une question svp
pour l'initialisation le membre de droite de l'égalité n'est pas égal à

(x-1)(1+x^{0})=2(x-1)?

Posté par
hekla
re : Récurrence 03-10-22 à 10:21

Bonjour

pour tout nombre entier naturel non nul

Posté par
tetras
re : Récurrence 03-10-22 à 10:26

oui mais ici si n=1 donc non nul (x-1)(1+x^{1-1})=2(x-1)

Posté par
hekla
re : Récurrence 03-10-22 à 10:43

Pour n=1,\  x-1 n'est pas factorisable

La relation n'est vraie que si n \geqslant 2.

Le texte aurait dû être supérieur à 2. d'accord.

Posté par
tetras
re : Récurrence 03-10-22 à 11:18

ok merci

Posté par
carpediem
re : Récurrence 03-10-22 à 18:06

salut

hekla @ 03-10-2022 à 10:43

Pour n=1,\  x-1 n'est pas factorisable
plus précisément x - 1 est certainement factorisable et pour le factoriser il n'y a rien à faire puisqu'il est factorisé !! comme tout polynome du premier degré ...



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