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Récurrence arithmétique

Posté par
rb1999
12-09-21 à 14:31

modération > **Bonjour***

J?ai un problème donné par mon professeur mais nous n?avons fait aucun exercice là dessus, je suis donc perdu:
1) Soit u la suite arithmétique de terme initial U0=2 et de raison=7
a) montrer par recurrence que pour toute entier n supérieur ou égal à 0, on a Un=2+7n
b) Exprimer la somme Sn=U0+U1+U2+?+Un en fonction de n, puis le démontrer par récurrence
c) Que vaut la somme 4+13+22+?+1075? [somme de termes consécutifs d?une suite arithmétique]
Merci de votre aide

Posté par
Glapion Moderateur
re : Récurrence arithmétique 12-09-21 à 14:33

Bonjour, mais tu connais le principe d'un raisonnement par récurrence ?

Posté par
malou Webmaster
re : Récurrence arithmétique 12-09-21 à 14:34

Bonjour
vois cette fiche : Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
puis propose quelque chose pour la question 1

Posté par
rb1999
re : Récurrence arithmétique 12-09-21 à 14:35

oui mais on en a jamais fait avec des suites arithmétiques, je sais pas comment commencer. c'est peut-être le même principe mais j'ai besoin d'aide

Posté par
Glapion Moderateur
re : Récurrence arithmétique 12-09-21 à 14:38

Peu importe.

Initialisation : Est-ce que la propriété est vraie pour n = 0 ?

Après suppose la vraie pour n et montre qu'elle est encore vraie pour n+1.

Posté par
rb1999
re : Récurrence arithmétique 12-09-21 à 14:51

pour l'intialisation on fait U0= 2+7*0= 2 donc c'est vrai
mais pour l'hérédité quel est le calcul?

Posté par
rb1999
re : Récurrence arithmétique 12-09-21 à 16:35

vous êtes toujours là ?

Posté par
malou Webmaster
re : Récurrence arithmétique 12-09-21 à 16:38

même si Glapion n'est pas là...il y a toujours quelqu'un ici ...

tu as lu la fiche ? tu as des exemples rédigés

qu'appelles-tu propriété Pn ?
suppose qu'elle est vraie au rang p avec p dans ?
et montre qu'elle est vraie au rang p+1
comme dans la fiche ....

Posté par
rb1999
re : Récurrence arithmétique 12-09-21 à 16:48

J?ai fait cela:

** image supprimée **

***relire Q05 ** [lien] ***

Posté par
rb1999
re : Récurrence arithmétique 12-09-21 à 18:34

J'ai fait ça:
1)a. Nous devons montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 0, on a Un=2+7n
on a Un+1= Un+r
* Initialisation: Pour n=0, on a U0=2 (U0=2+7*0=2)
La propriété est donc vraie au rang n=0

* Hérédité: On suppose que la propriété est vraie pour un rang k supérieur ou égal à 0, et donc que Uk=2+7k. On veut alors montrer que la propriété est vraie au rang suivant k+1 et donc que U(k+1)=2+7(k+1) soit U(k+1)= 2+7k +7 (=7k+9)
U(k+1)= Uk+r
           = Uk+7
           = 2+7k+7   (= 7k+9)  
La propriété est donc bien héréditaire

* Conclusion: Initialisée au rang 0 et héréditaire, la propriété est donc vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 0
Si c'est correct, pouvez vous m'aider pour la 1)b. et les suivantes svp?

Posté par
carpediem
re : Récurrence arithmétique 12-09-21 à 19:01

salut

ce n'est pas tout fait bon ...

si u(n) = 2 + 7n alors au rang suivant il faut obtenir et écrire u(n + 1) = 2 + 7(n + 1)

Posté par
rb1999
re : Récurrence arithmétique 12-09-21 à 19:27

Oui, parson, la ligne en rouge est censée être entre parenthèses, c'est une information, elle ne suit pas la ligne precedente
« J'ai fait ça:
1)a. Nous devons montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 0, on a Un=2+7n
on a Un+1= Un+r
* Initialisation: Pour n=0, on a U0=2 (U0=2+7*0=2)
La propriété est donc vraie au rang n=0

* Hérédité: On suppose que la propriété est vraie pour un rang k supérieur ou égal à 0, et donc que Uk=2+7k. On veut alors montrer que la propriété est vraie au rang suivant k+1 et donc que U(k+1)=2+7(k+1) soit U(k+1)= 2+7k +7 (=7k+9)
U(k+1)= Uk+r
           = Uk+7
           = 2+7k+7   (= 7k+9)  
La propriété est donc bien héréditaire

* Conclusion: Initialisée au rang 0 et héréditaire, la propriété est donc vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 0
Si c'est correct, pouvez vous m'aider pour la 1)b. et les suivantes svp? »

Posté par
rb1999
re : Récurrence arithmétique 12-09-21 à 19:27

mais vous savez quoi faire pour la 1)b. et le reste?

Posté par
malou Webmaster
re : Récurrence arithmétique 12-09-21 à 20:06

quoi faire ? apprendre son cours....
Tout ce qui concerne les suites arithmétiques

Posté par
rb1999
re : Récurrence arithmétique 13-09-21 à 00:15

j'ai déjà un cours mais je ne le comprends pas



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