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récurrence de polynome

Posté par nestleeee (invité) 24-02-08 à 10:49

Bonjour a tous,

J'ai un problème pour une question (je vois ce qu'il faut faire, mais je n'arrive pas a débuter), donc si quelqu'un pouvait me mettre sur la piste!


Soit w est définie sur par x w(x)=exp(-x2)

Montrer que pour tout entier n il existe un polynome Hn de degré n tel que w(n)(x) = (-1)n.Hn(x).w(x) pour tout réel x



j'ai d'abord tenté de voir ce que ca donnait pour différentes valeurs de n :
n=0 H=1
n=1 H=2x
n=2 H=4x^2 -2
n=3 H=8x^3 -12x

Il est évident que pour montrer la propriété voulue je dois utiliser la récurrence. Mais je n'arrive pas a l'amorcer :s

Je voudrai simplement un petit coup de pouce pour me mettre sur la bonne route!


Merci d'avance!

Posté par
gui_toure : récurrence de polynome 24-02-08 à 11:17

Salut

On définit, pour tout 3$\rm n\in\mathbb{N, la propriété : 3$\fbox{\scr{P(n)}\Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R},\,w^{(n)}(x)=(-1)^n.H_n(x).w(x)

Pour l'initialisation : pas de problèmes

Pour l'hérédité. Soit 3$\rm n\in\mathbb{N}^* tel que 3$\rm \scr{P(n). On montre que 3$\rm \scr{P(n+1), ie 3$\fbox{\scr{P(n+1)}\Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R},\,w^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1}.H_{n+1}(x).w(x)

Soit 3$n\in\mathbb{N}^*,\,x\in\mathbb{R. 3$w^{(n+1)}(x)=\fra{d}{dx}\[(-1)^n.H_n(x).w(x)] à dériver comme un produit de fonctions

N'oublie pas de montrer que 3$\rm H_n\in\mathbb{R}[X],\;deg H_n=n.

Posté par
soucoure : récurrence de polynome 24-02-08 à 11:49

Pour connaître le degré de H_n je pense qu'il lui devrait aussi faire une récurrence sur le mômone de plus haut degré. Puisqu'on obtient facilement \text{deg} H_n\leq n et pas nécessairement une égalité.

Posté par nestleeee (invité)re : récurrence de polynome 24-02-08 à 12:01

salut gui_tou



w^{(n+1)}(x)=\fra{d}{dx}\[(-1)^n.H_n(x).w(x)]
=w'(x).Hn+1(x).(-1)n+1+(n+1).Hn(x).-1)n+1.w(x)
=-2x.w(x).Hn+1(x).(-1)n+1+(n+1).Hn(x).-1)n+1.w(x)
=(-1)n+1.w(x)*[(n+1)Hn(x) -2x.Hn+1(x)]
=-2x.w(x).Hn+1(x).(-1)n+1-(n+1).w(n)(x) (j'ai remplacé Hn(x) pour faire apparaitre w(n)

Une fois que j'ai ca je ne sais pas si j'ai fini. Je pensais m'arrêter a l'avant derniere ligne et dire que tous ce que j'ai mis dans les crochets c'est "Hn+1(x)".

Mais quand je regarde ma prochaine question je me dis que c'est faux puisqu'on me demande "en déduire que pour tout n on a Hn+1(x) = 2x.Hn(x)-H'n(x)"

Posté par
soucoure : récurrence de polynome 24-02-08 à 12:11

w^{(n+1)}(x)=\fra{d}{dx}\[(-1)^n.H_n(x).w(x)]=(-1)^n\left(H^{\prime}_n(x)-2xH_n(x)\right)w^{(n)}(x)

A ce moment là tu pose H_{n+1}=H^{\prime}_n+2XH_n qui est bien un polynôme de degré inférieur où égal à \text{max}(\text{deg}H^{\prime}_n,1+\text{deg}H_n)=n+1.

Posté par
soucoure : récurrence de polynome 24-02-08 à 12:12

H_{n+1}=H^{\prime}_n-2XH_n

Posté par nestleeee (invité)re : récurrence de polynome 24-02-08 à 14:06

J'avais remplacer n par n+1 pour la récurrence :s. Pour ca que ca ne marchait pas.

Oui j'ai aussi ce probleme de signe, mais je pense avoir trouvé la solution
on a w(n+1)=(-1)n+1.Hn+1(x).w(x) =(-1)^n\left(H^{\prime}_n(x)-2xH_n(x)\right)w(x)
Lorsqu'on identifie, on a bien H_{n+1}=-H^{\prime}_n+2XH_n


D'ailleurs dans le calcul de w^(n+1), ce n'est pas w(n)(x) qu'on obtient mais simplement w(x)

La dernière question me demande de déduire le coeff dominant de Hn
d'après ce qui a été fait juste avant, on peut en déduire que le coeff dominant de Hn c'est celui de Hn-1 mutiplié par 2X
Et H0=1
donc le coeff dominant de Hn c'est 1*(2x)n=2xn

est ce que pour uen fois j'ai dit quelque chose de correct?!!!


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