Bonjour a tous,
J'ai un problème pour une question (je vois ce qu'il faut faire, mais je n'arrive pas a débuter), donc si quelqu'un pouvait me mettre sur la piste!
Soit w est définie sur par x w(x)=exp(-x2)
Montrer que pour tout entier n il existe un polynome Hn de degré n tel que w(n)(x) = (-1)n.Hn(x).w(x) pour tout réel x
j'ai d'abord tenté de voir ce que ca donnait pour différentes valeurs de n :
n=0 H=1
n=1 H=2x
n=2 H=4x^2 -2
n=3 H=8x^3 -12x
Il est évident que pour montrer la propriété voulue je dois utiliser la récurrence. Mais je n'arrive pas a l'amorcer :s
Je voudrai simplement un petit coup de pouce pour me mettre sur la bonne route!
Merci d'avance!
Salut
On définit, pour tout , la propriété :
Pour l'initialisation : pas de problèmes
Pour l'hérédité. Soit tel que . On montre que , ie
Soit . à dériver comme un produit de fonctions
N'oublie pas de montrer que .
Pour connaître le degré de je pense qu'il lui devrait aussi faire une récurrence sur le mômone de plus haut degré. Puisqu'on obtient facilement et pas nécessairement une égalité.
salut gui_tou
=w'(x).Hn+1(x).(-1)n+1+(n+1).Hn(x).-1)n+1.w(x)
=-2x.w(x).Hn+1(x).(-1)n+1+(n+1).Hn(x).-1)n+1.w(x)
=(-1)n+1.w(x)*[(n+1)Hn(x) -2x.Hn+1(x)]
=-2x.w(x).Hn+1(x).(-1)n+1-(n+1).w(n)(x) (j'ai remplacé Hn(x) pour faire apparaitre w(n)
Une fois que j'ai ca je ne sais pas si j'ai fini. Je pensais m'arrêter a l'avant derniere ligne et dire que tous ce que j'ai mis dans les crochets c'est "Hn+1(x)".
Mais quand je regarde ma prochaine question je me dis que c'est faux puisqu'on me demande "en déduire que pour tout n on a Hn+1(x) = 2x.Hn(x)-H'n(x)"
J'avais remplacer n par n+1 pour la récurrence :s. Pour ca que ca ne marchait pas.
Oui j'ai aussi ce probleme de signe, mais je pense avoir trouvé la solution
on a w(n+1)=(-1)n+1.Hn+1(x).w(x) =
Lorsqu'on identifie, on a bien
D'ailleurs dans le calcul de w^(n+1), ce n'est pas w(n)(x) qu'on obtient mais simplement w(x)
La dernière question me demande de déduire le coeff dominant de Hn
d'après ce qui a été fait juste avant, on peut en déduire que le coeff dominant de Hn c'est celui de Hn-1 mutiplié par 2X
Et H0=1
donc le coeff dominant de Hn c'est 1*(2x)n=2xn
est ce que pour uen fois j'ai dit quelque chose de correct?!!!
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