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Niveau terminale
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Récurrence difficile

Posté par
Tibooo
09-01-22 à 09:54

Bonjour, je prépare le concours général de mathématiques et mon prof m'a donné un exercice très difficile:
Soient x1, x2, ... , xn des nombres réels positifs et n appartient à N*. Montrer que:

(x1+x2+...+xn)/n >= (x1x2...xn)*(1/n)

Il m'a été conseillé d'utiliser le principe de réccurence de Cauchy:
Montrer P(2) (réussi)
Montrer que P(n) implique P(n-1) (réussi)
Montrer que P(2n) implique P(n+1) (je galère)

Merci de pour votre aide,
Bonne journée.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence difficile 09-01-22 à 10:58

Bonjour,
Je vois que tu es nouveau, bienvenue sur l'

Je ne comprends pas bien l'énoncé avec du n des deux côtés qui se simplifient si on multiplie par n :
x1+x2+...+xn x1x2...xn

Tu as des boutons sous la zone de saisie. Tu pourras les explorer :

Récurrence difficile

Le bouton "X2" permet de mettre en indice.
Le bouton "" donne accès à par exemple.
Ne pas oublier de faire "Aperçu" avant "POSTER".

Posté par
Rintaro
re : Récurrence difficile 09-01-22 à 11:00

Bonjour,

tu es sûr de la méthode à adopter ?
En supposant que tu montres que P(2n) implique P(n+1), ce que tu auras sous la main c'est :

- P(2) est vraie, donc P(1) est vraie.
- P(2) = P(2*1) donc P(2) est vraie, tautologie.

On n'arrive pas à dépasser le rang 2. Il faudrait donc partir d'un rang autre que 2.

Ne serait-ce pas plutôt montrer que :

- P(1) est vraie (pour ça montrer que P(2) est vraie et que P(n) implique P(n-1) est vraie suffit)
- P(n) implique P(n-1)
- P(n) implique P(2n) ?

A partir de là, on recouvre tous les entiers naturels en faisant P(2) est vraie, donc P(4) aussi, puis P(3), puis P(6) etc...

Je ne suis pas expert.

Posté par
Rintaro
re : Récurrence difficile 09-01-22 à 11:01

Bonjour Sylvieg, je m'éclipse.

Bonne journée à vous deux.

Posté par
lake
re : Récurrence difficile 09-01-22 à 13:32

Bonjour,

La preuve dite de Cauchy est difficile (surtout avec le peu d'éléments dont tu disposes).
Un énoncé qui permet de l'aborder "pas à pas" :

  

pdf
PDF - 74 Ko

Posté par
Glapion Moderateur
re : Récurrence difficile 09-01-22 à 14:01

Si c'est bien \sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \le\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n} que tu veux démontrer (l'inégalité des moyennes) alors la methode la plus simple c'est de dire que la fonction f(x) = ln(x) est concave et donc que

ln(\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}) \ge \dfrac{ln(x_1)+ln(x_2)+...+ln(x_n)}{n}

En prenant l'exponentielle des deux cotés (qui est croissante et préserve donc l'inégalité) on obtient le résultat.

Posté par
lake
re : Récurrence difficile 09-01-22 à 14:42

Bonjour Glapion,

On a tous nos "préférées". La mienne est celle due à :

1) Montrer que pour tout x strictement positif, \ln\,x\leq x-1

2) Soit m la moyenne arithmétique des x_i,  i\in [\![1,n]\!]. Calculer \sum_{i=1}^n\left(\dfrac{x_i}{m}-1\right).

3) Conclure.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence difficile 09-01-22 à 19:26

Oui, vraiment séduisante la démonstration de Polya, car elle repose sur des notions relativement élémentaires

Posté par
lake
re : Récurrence difficile 09-01-22 à 23:17

Bonsoir Sylvieg,

Je suis tombé, il y a quelques années sur cette démonstration. Le résultat tombe comme une évidence. A l'époque, j'avais été "saisi" !
Bien que le sujet soit relativement élémentaire, j'avais compris alors la différence entre un Mathématicien et un matheux comme moi.
J'étais déjà convaincu ; une confirmation de plus si besoin était



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