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Récurrence difficile
Bonjour, je prépare le concours général de mathématiques et mon prof m'a donné un exercice très difficile:
Soient x1, x2, ... , xn des nombres réels positifs et n appartient à N*. Montrer que:
(x1+x2+...+xn)/n >= (x1x2...xn)*(1/n)
Il m'a été conseillé d'utiliser le principe de réccurence de Cauchy:
Montrer P(2) (réussi)
Montrer que P(n) implique P(n-1) (réussi)
Montrer que P(2n) implique P(n+1) (je galère)
Merci de pour votre aide,
Bonne journée.
Je vois que tu es nouveau, bienvenue sur l'
Je ne comprends pas bien l'énoncé avec du n des deux côtés qui se simplifient si on multiplie par n :
x1+x2+...+xn
x1x2...xn
Tu as des boutons sous la zone de saisie. Tu pourras les explorer :
Le bouton "X2" permet de mettre en indice.
Le bouton "
" donne accès à 
par exemple.
Ne pas oublier de faire "Aperçu" avant "POSTER".
Bonjour,
tu es sûr de la méthode à adopter ?
En supposant que tu montres que P(2n) implique P(n+1), ce que tu auras sous la main c'est :
- P(2) est vraie, donc P(1) est vraie.
- P(2) = P(2*1) donc P(2) est vraie, tautologie.
On n'arrive pas à dépasser le rang 2. Il faudrait donc partir d'un rang autre que 2.
Ne serait-ce pas plutôt montrer que :
- P(1) est vraie (pour ça montrer que P(2) est vraie et que P(n) implique P(n-1) est vraie suffit)
- P(n) implique P(n-1)
- P(n) implique P(2n) ?
A partir de là, on recouvre tous les entiers naturels en faisant P(2) est vraie, donc P(4) aussi, puis P(3), puis P(6) etc...
Je ne suis pas expert.
Bonjour,
La preuve dite de Cauchy est difficile (surtout avec le peu d'éléments dont tu disposes).
Un énoncé qui permet de l'aborder "pas à pas" :
PDF - 74 Ko
Si c'est bien que tu veux démontrer (l'inégalité des moyennes) alors la methode la plus simple c'est de dire que la fonction f(x) = ln(x) est concave et donc que
En prenant l'exponentielle des deux cotés (qui est croissante et préserve donc l'inégalité) on obtient le résultat.
Bonjour Glapion,
On a tous nos "préférées". La mienne est celle due à 
:
1) Montrer que pour tout strictement positif,
2) Soit la moyenne arithmétique des
,
. Calculer
.
3) Conclure.
Oui, vraiment séduisante la démonstration de Polya, car elle repose sur des notions relativement élémentaires
Bonsoir Sylvieg,
Je suis tombé, il y a quelques années sur cette démonstration. Le résultat tombe comme une évidence. A l'époque, j'avais été "saisi" !
Bien que le sujet soit relativement élémentaire, j'avais compris alors la différence entre un Mathématicien et un matheux comme moi.
J'étais déjà convaincu ; une confirmation de plus si besoin était
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