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Récurrence double - Prépa bcpst

Posté par
LaMoonwalkeuse
06-09-14 à 16:13

Bonjour!
Je suis en prépa, et j'ai un exercice que je trouve assez difficile... Surement parce que je n'ai jamais fait de double récurrence auparavent.

Si quelqu'un pourrait m'aider, ce serait avec grand plaisir!

Exercice:
Soit x tel que x+(1/x) .
   1) Montrer par double récurrence que pour tout n , xn+(1/xn)
   2) Déterminer un réel x non entier vérifiant cette propriété.

Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider!

Posté par
Robot
re : Récurrence double - Prépa bcpst 06-09-14 à 16:55

Essaie des trucs ! Comme par exemple de multiplier x^n+(1/x^n) par x+1/x, ça te donnera peut-être des idées.

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Récurrence double - Prépa bcpst 06-09-14 à 17:17

Ah oui! Merci beaucoup!

J'ai donc:

Montrons par récurrence double sur n, la propriété P(n):"xn+(1/xn)"

Initialisation:
- pour n=0: x0+(1/x0)=2
- pour n=1: x1+(1/x1)=x+(1/x) par définition.
Donc P(0) et P(1) sont vraies.

Hérédité:
Soit n fixé.
On suppose que P(n) et P(n+1) sont vraies.
Montrons que P(n+2) est vraie.
xn+2+(1/xn+2)=(xn+1+(1/xn+1))(x+(1/x))
Or, par définition, x+(1/x). Et on suppose que xn+1+(1/xn+1).
On a donc : (xn+1+(1/xn+1))(x+(1/x)).
Donc P(n+2) est vraie.

Conclusion:
Par principe de récurrence double, on a xn+(1/xn)

Juste une petite question : Faut-il que je précise que x?

Posté par
Robot
re : Récurrence double - Prépa bcpst 06-09-14 à 17:23

xn+2+(1/xn+2)=(xn+1+(1/xn+1))(x+(1/x))


Allons voyons ! Reprends-toi !

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Récurrence double - Prépa bcpst 06-09-14 à 18:05

Ah... Alors:

(xn+1+(1/xn+1))(x+(1/x))= xn+2+xn+(1/xn)+(1/xn+2)
                                    = (xn+2+(1/xn+2))+(xn+(1/xn))

Or, par définition, x+(1/x). Et on suppose que xn+1+(1/xn+1) et que xn+(1/xn).
On a donc : (xn+1+(1/xn+1))(x+(1/x)), alors (xn+2+(1/xn+2)+(xn+(1/xn)). Au final, (xn+2+(1/xn+2).
Donc P(n+2) est vraie.

Posté par
Robot
re : Récurrence double - Prépa bcpst 06-09-14 à 18:26

Oui, on peut écrire les choses comme ça :
x^{n+2}+(1/x^{n+2}) = (x^{n+1}+(1/x^{n+1}))\,(x+(1/x)) -(x^{n+1}+(1/x^{n+1}))

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Récurrence double - Prépa bcpst 06-09-14 à 18:42

D'accord! Merci beaucoup!

Par contre, pour trouver x non entier comme solution. J'essayes, mais je ne parviens pas à aller au bout:

x+(1/x)=p,p x=p-(1/x) x=(px-1)/x x²-px+1=0.

=p²-4

Et à partir de là, je n'y arrive pas, car je ne connais pas la valeur de p (si je prend n'importe quelle valeur, cela peut fausser mon résultat)

Posté par
Robot
re : Récurrence double - Prépa bcpst 06-09-14 à 18:52

Quest-ce que tu veux dire par "fausser ton résultat" ?
On te demande juste un exemple de nombre réel x non entier tel que x+(1/x) soit entier, c.-à-d. vérifiant une équation du type x^2-p\,x+1= 0p est un entier, comme tu l'as bien écrit. Pour avoir un exemple, tu peux prendre pour p l'entier que tu veux, du moment que tu récupères une solution non entière de l'équation du second degré.
L'utilisation du mot "déterminer" dans l'énoncé est assez maldroite, je trouve. "Donner un exemple de réel x ..." aurait été plus approprié.

Posté par
LaMoonwalkeuse
re : Récurrence double - Prépa bcpst 06-09-14 à 19:00

Ah d'accord!

Alors, si on prend p=7, on a:

=7²+4=53>0

On a donc: x = (-7+(53))/2.

Une solution de cette propriété est donc x = (-7+(53))/2



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