Bonjour,
J'aurai besoin d'aide svp pour un exercice de récurrence sur le cosinus et sinus hyperboliques. Il faut démontrer par récurrence que si l'on dérive un nombre pair de fois ch, on retombe sur ch, et si on dérive un nombre impair de fois ch, on trouve sh.
Sujet :
On note sh(x) = ch′(x) pour tout x ∈ R. La fonction sh est appelée sinus hyperbolique.
On note ch′ la première dérivée de la fonction ch, ch′′ sa deuxième dérivée et pour tout n ∈ N tel que n ≥ 3, ch(n) la n-ième dérivée de la fonction ch.
Montrer par récurrence que :
i. si n est impair, alors ch(n)(x) = sh(x),
ii. si n est pair, alors ch(n)(x) = ch(x).
Merci.
Bonjour, je cherche à démontrer par récurrence les deux formules suivantes :
(1) ch(n)(x) = sh(x) si n est pair
(2) ch(n)(x) = ch(x) si n est impair
Et n doit être supérieur ou égal à 3
On peut démontrer par récurrence une formule qui commence par "si n 3". Mais pas par "si n est impair".
Comment traduire "n est impair" ? Comment traduire "n est pair" ?
Si n est pair il existe un entier k tel que n = 2k.
Si n est impair il existe un entier k tel que n = 2k+1.
Donc, il s'agit de démontrer que
ch(2k+1)(x) = sh(x) et ch(2k)(x) = ch(x)
Pour les exposants, il y a le bouton X2 sous le rectangle zone de saisie
Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.
D'accord merci mais pouvez vous m'éclairer sur la démarche à suivre svp car j'ai essayé l'hérédité pour la première formule et je trouve cela :
ch(2k+2) (x) = ch(2k)(x) * ch(2)(x)
= ch(x) * ch(x)
= (ex+e-x)/2 * (ex+e-x)/2
= (ex+e-x)2/4
=(e2x+2*ex*e-x+e-2x)/4
Je n'arrive pas à retrouver la fonction sh(x) à partir de ch(2k+2)(x)
Attention f(n) ne désigne pas une puissance, mais un dérivée d'ordre n.
Pour mieux comprendre cette notation, je te propose de commencer par calculer
ch(1)(x) = ch'(x) = ...
ch(2)(x) = ch''(x) = ...
ch(3)(x) = ... en dérivant ch(2)(x)
ch(4)(x) = ... en dérivant ch(3)(x)
Je trouve :
ch(1)(x) = ch'(x) = (ex-e-x)/2 = sh(x)
ch(2)(x) = ch''(x) = (ex+e-x)/2
ch(3)(x) = (ex-e-x)/2
ch(4)(x) = (ex+e-x)/2
Mais alors f(n) ne désigne pas une puissance, mais une dérivée d'ordre n, alors comment procéder svp pour l'hérédité de la récurrence car je bloque.
Messages croisés
Tu peux regarder la correction de l'exercice 3 dans dix exercices sur des notions étudiées avec les fonctions
(accès à la correction tout en bas, à la fin des énoncés).
L'hérédité y est traitée pour f(x) = 1/(x-2)
Je trouve :
ch(2k)(x) = ch''(x)
= (ex+e-x)/2
= ch(x)
On a montré l'hérédité, on en déduit donc que par récurrence que si n est pair, donc si n = 2k alors ch(n)(x) = ch(x).
Est-ce que c'est bien ça où je me suis trompé svp ?
itsJulienOTF
Comment trouves-tu ch(2k)(x) = ch''(x) ?
Et ce n'est pas l'hérédité.
Pose P(k) la proposition ch(2k)(x) = ch(x) avec k entier naturel.
Pour l'hérédité, il faut faire une supposition et, à partir de cette supposition, démontrer P(k+1).
Soit P(k) la proposition ch(2k)(x) = ch(x) avec k entier naturel.
Montrons par récurrence que pour n = 2k, ch(2k)(x) = ch(x).
Supposons la propriété P(k) vraie. On cherche à la démontrer au rang k+1 :
Soit ch(2k)(x) = ch(x) = (ex+e-x)/2
On a : (ch(2k))'(x) = ch(2k+1)(x) (hypothèse de récurrence)
= sh(x)
= (ex-e-x)/2
Soit ch(2k+1)(x) = (ex-e-x)/2
Or sh(x) = (ex-e-x)/2
La proposition est donc héréditaire
Pour démontrer que la propriété est héréditaire, il faut démontrer P(k+1).
Ce n'est pas ce que tu as fait.
As-tu écrit quelque part ce qu'est P(k+1) ?
Il faut le faire pour loucher dessus et essayer de l'obtenir à partir de l'hypothèse de récurrence.
Soit P(k) la proposition ch(2k)(x) = ch(x) avec k entier naturel.
Donc P(k+1) est la proposition ch(2k+1)(x) = ch(x) avec k entier naturel
Cependant je bloque parce si P(k+1) : ch(2k+1)(x) = ch(x) alors comment se fait-il que dans la question il est mentionné (dans la deuxième formule) que ch(2k+1)(x) = sh(x), Or sh(x) ≠ ch(x)
Pour écrire P(k+1), il faut remplacer k par k+1.
Si tu remplace k par k+1 dans 2k, tu n'obtiens pas 2k+1.
Ha oui c'est vrai, donc c'est bien :
P(k+1) est la proposition : ch(2(k+1))(x) = ch(x) avec k entier naturel, c'est-à-dire ch(2k+2)(x) = ch(x).
Mais maintenant que je connais P(k) et P(k+1), pour réussir l'hérédité, faut-il donc partir de P(k) pour trouver P(k+1) ?
Oui.
Pour ça il faut voir que ch(2k+2) est la dérivée seconde de ch(2k).
Autrement dit, pour passer de ch(2k) à ch(2k+2), il faut dériver deux fois.
Je ne vais plus être disponible avant demain.
Bonne nuit.
(Re)Bonjour,
J'ai donc essayé de faire l'hérédité en me basant sur vos indications et voilà ce que je trouve :
Soit P(k) : ch(2k)(x) = ch(x) avec k entier naturel (hypothèse de récurrence)
Soit P(k+1) : ch(2k+2)(x) = ch(x) avec k entier naturel (objectif)
On pose :
ch(2k)(x) = ch(x)
(ch(2k))'(x) = ch'(x)
ch(2k+1)(x) = ch'(x)
(ch(2k+1))'(x) = ch''(x)
ch(2k+2)(x) = ch''(x)
Or ch''(x) = (ex+e-x)/2 = ch(x)
Donc ch(2k+2)(x) = ch(x)
On a montré l'hérédité, on en déduit donc par récurrence que si n est pair, c'est-à-dire si n = 2k et pour tout n entier naturel tel que n supérieur ou égal à 3, ch(n)(x) = ch(x)
Voilà je voudrais savoir si c'est bon, ou si je me suis trompé où dois-je me corriger
Merci
Est-ce que c'est possible donc que vous m'aidez toujours svp ?
Je suis désolé je n'étais pas au courant que je ne pouvais pas le faire.
Dis de l'autre côté que tu n'as plus besoin d'aide, et Sylvieg, quand elle passera, viendra voir ce que tu as fait.
Hum
Merci malou de ta vigilance
Bon, alors pour le message de 13h44,
Les calculs sont bons, mais la manière de rédiger la récurrence est un peu désordonnée.
Il faut bien séparer :
La définition de la propriété P(k).
L'initialisation.
L'hérédité qui démarre avec ce qu'on appelle l'hypothèse de récurrence.
P(k+1) apparaît à la fin de l'hérédité.
Mais tu as toujours intérêt à l'écrire clairement au brouillon pour loucher dessus.
Le début de l'hérédité commence toujours par "on supposes que ...".
Et se termine ici par "donc P(k+1) est vraie".
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