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Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique

Posté par
itsJulienOTF
29-12-21 à 14:10

Bonjour,
J'aurai besoin d'aide svp pour un exercice de récurrence sur le cosinus et sinus hyperboliques. Il faut démontrer par récurrence que si l'on dérive un nombre pair de fois ch, on retombe sur ch, et si on dérive un nombre impair de fois ch, on trouve sh.

Sujet :

On note sh(x) = ch′(x) pour tout x ∈ R. La fonction sh est appelée sinus hyperbolique.
On note ch′ la première dérivée de la fonction ch, ch′′ sa deuxième dérivée et pour tout n ∈ N tel que n ≥ 3, ch(n) la n-ième dérivée de la fonction ch.
Montrer par récurrence que :
i. si n est impair, alors ch(n)(x) = sh(x),
ii. si n est pair, alors ch(n)(x) = ch(x).

Merci.

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 14:12

J'ai réussi les initialisations mais je bloque pour les hérédités.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 15:15

Bonjour,
Quelle formule tentes-tu de démontrer par récurrence ?

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 15:35

Bonjour, je cherche à démontrer par récurrence les deux formules suivantes :
(1) ch(n)(x) = sh(x) si n est pair
(2) ch(n)(x) = ch(x) si n est impair
Et n doit être supérieur ou égal à 3

Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 16:01

On peut démontrer par récurrence une formule qui commence par "si n 3". Mais pas par "si n est impair".
Comment traduire "n est impair" ? Comment traduire "n est pair" ?

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 16:22

Si n est pair il existe un entier k tel que n = 2k.
Si n est impair il existe un entier k tel que n = 2k+1.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 16:49

Donc, il s'agit de démontrer que
ch(2k+1)(x) = sh(x) et ch(2k)(x) = ch(x)

Pour les exposants, il y a le bouton \; X2 \; sous le rectangle zone de saisie
Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 17:28

D'accord merci mais pouvez vous m'éclairer sur la démarche à suivre svp car j'ai essayé l'hérédité pour la première formule et je trouve cela :

ch(2k+2) (x) = ch(2k)(x) * ch(2)(x)
= ch(x) * ch(x)
= (ex+e-x)/2 * (ex+e-x)/2
= (ex+e-x)2/4
=(e2x+2*ex*e-x+e-2x)/4

Je n'arrive pas à retrouver la fonction sh(x) à partir de ch(2k+2)(x)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 17:48

Attention f(n) ne désigne pas une puissance, mais un dérivée d'ordre n.

Pour mieux comprendre cette notation, je te propose de commencer par calculer
ch(1)(x) = ch'(x) = ...
ch(2)(x) = ch''(x) = ...
ch(3)(x) = ... en dérivant ch(2)(x)
ch(4)(x) = ... en dérivant ch(3)(x)

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 17:59

Je trouve :
ch(1)(x) = ch'(x) = (ex-e-x)/2 = sh(x)
ch(2)(x) = ch''(x) = (ex+e-x)/2
ch(3)(x) = (ex-e-x)/2
ch(4)(x) = (ex+e-x)/2

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 18:02

Mais alors f(n) ne désigne pas une puissance, mais une dérivée d'ordre n, alors comment procéder svp pour l'hérédité de la récurrence car je bloque.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 18:03

C'est bon
Maintenant, tu peux essayer de démontrer par récurrence sur k que
ch(2k)(x) = ch(x)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 18:14

Messages croisés
Tu peux regarder la correction de l'exercice 3 dans dix exercices sur des notions étudiées avec les fonctions
(accès à la correction tout en bas, à la fin des énoncés).
L'hérédité y est traitée pour f(x) = 1/(x-2)

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 18:18

Je trouve :
ch(2k)(x) = ch''(x)
= (ex+e-x)/2
= ch(x)

On a montré l'hérédité, on en déduit donc que par récurrence que si n est pair, donc si n = 2k alors ch(n)(x) = ch(x).

Est-ce que c'est bien ça où je me suis trompé svp ?

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 18:26

itsJulienOTF

itsJulienOTF @ 29-12-2021 à 18:18

Je trouve :
ch(2k)(x) = ch''(x)
= (ex+e-x)/2
= ch(x)

On a montré l'hérédité, on en déduit donc que par récurrence que si n est pair, donc si n = 2k alors ch(n)(x) = ch(x).

Est-ce que c'est bien ça où je me suis trompé svp ?
itsJulienOTF

Je n'avais plus as vu votre message je vais essayer de faire l'hérédité avec l'exercice que vous avez donné.
Merci.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 18:29

Comment trouves-tu ch(2k)(x) = ch''(x) ?
Et ce n'est pas l'hérédité.

Pose P(k) la proposition ch(2k)(x) = ch(x) avec k entier naturel.
Pour l'hérédité, il faut faire une supposition et, à partir de cette supposition, démontrer P(k+1).

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 18:52

Soit P(k) la proposition ch(2k)(x) = ch(x) avec k entier naturel.
Montrons par récurrence que pour n = 2k, ch(2k)(x) = ch(x).
Supposons la propriété P(k) vraie. On cherche à la démontrer au rang k+1 :
Soit ch(2k)(x) = ch(x) = (ex+e-x)/2
On a : (ch(2k))'(x) = ch(2k+1)(x) (hypothèse de récurrence)
= sh(x)
= (ex-e-x)/2

Soit ch(2k+1)(x) = (ex-e-x)/2
Or sh(x) = (ex-e-x)/2
La proposition est donc héréditaire

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 19:17

Pour démontrer que la propriété est héréditaire, il faut démontrer P(k+1).
Ce n'est pas ce que tu as fait.
As-tu écrit quelque part ce qu'est P(k+1) ?
Il faut le faire pour loucher dessus et essayer de l'obtenir à partir de l'hypothèse de récurrence.

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 19:32

Soit P(k) la proposition ch(2k)(x) = ch(x) avec k entier naturel.
Donc P(k+1) est la proposition ch(2k+1)(x) = ch(x) avec k entier naturel

Cependant je bloque parce si P(k+1) : ch(2k+1)(x) = ch(x) alors comment se fait-il que dans la question il est mentionné (dans la deuxième formule) que ch(2k+1)(x) = sh(x), Or sh(x) ≠ ch(x)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 20:29

Pour écrire P(k+1), il faut remplacer k par k+1.
Si tu remplace k par k+1 dans 2k, tu n'obtiens pas 2k+1.

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 20:35

Ha oui c'est vrai, donc c'est bien :
P(k+1) est la proposition : ch(2(k+1))(x) = ch(x) avec k entier naturel, c'est-à-dire ch(2k+2)(x) = ch(x).

Mais maintenant que je connais P(k) et P(k+1), pour réussir l'hérédité, faut-il donc partir de P(k) pour trouver P(k+1) ?

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 20:49

Et si c'est bien cela qu'il faut faire, comment y procéder svp ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 20:52

Oui.
Pour ça il faut voir que ch(2k+2) est la dérivée seconde de ch(2k).
Autrement dit, pour passer de ch(2k) à ch(2k+2), il faut dériver deux fois.
Je ne vais plus être disponible avant demain.
Bonne nuit.

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 29-12-21 à 21:09

D'accord merci je vais essayer de trouver alors.
Bonne nuit

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 30-12-21 à 13:44

(Re)Bonjour,

J'ai donc essayé de faire l'hérédité en me basant sur vos indications et voilà ce que je trouve :

Soit P(k) : ch(2k)(x) = ch(x) avec k entier naturel (hypothèse de récurrence)
Soit P(k+1) : ch(2k+2)(x) = ch(x) avec k entier naturel (objectif)

On pose :
ch(2k)(x) = ch(x)
(ch(2k))'(x) = ch'(x)
ch(2k+1)(x) = ch'(x)
(ch(2k+1))'(x) = ch''(x)
ch(2k+2)(x) = ch''(x)

Or ch''(x) = (ex+e-x)/2 = ch(x)
Donc ch(2k+2)(x) = ch(x)
On a montré l'hérédité, on en déduit donc par récurrence que si n est pair, c'est-à-dire si n = 2k et pour tout n entier naturel tel que n supérieur ou égal à 3, ch(n)(x) = ch(x)

Voilà je voudrais savoir si c'est bon, ou si je me suis trompé où dois-je me corriger
Merci

Posté par
malou Webmaster
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 30-12-21 à 14:00

Bonjour à tous les deux

itsJulienOTF, tu trouves ta démarche normale alors que tu as toute l'aide que tu veux ici ...

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 30-12-21 à 14:11

Bonjour,
Je m'excuse je ne savais pas que c'était interdit je ne recommencerai plus.

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 30-12-21 à 14:24

Est-ce que c'est possible donc que vous m'aidez toujours svp ?
Je suis désolé je n'étais pas au courant que je ne pouvais pas le faire.

Posté par
malou Webmaster
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 30-12-21 à 14:29

Dis de l'autre côté que tu n'as plus besoin d'aide, et Sylvieg, quand elle passera, viendra voir ce que tu as fait.

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 30-12-21 à 14:39

D'accord c'est fait
Merci bcp

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 30-12-21 à 16:58

Hum
Merci malou de ta vigilance

Bon, alors pour le message de 13h44,
Les calculs sont bons, mais la manière de rédiger la récurrence est un peu désordonnée.
Il faut bien séparer :
La définition de la propriété P(k).
L'initialisation.
L'hérédité qui démarre avec ce qu'on appelle l'hypothèse de récurrence.

P(k+1) apparaît à la fin de l'hérédité.
Mais tu as toujours intérêt à l'écrire clairement au brouillon pour loucher dessus.
Le début de l'hérédité commence toujours par "on supposes que ...".
Et se termine ici par "donc P(k+1) est vraie".

Posté par
itsJulienOTF
re : Récurrence fonction cosinus et sinus hyperbolique 30-12-21 à 18:15

Sylvieg @ 30-12-2021 à 16:58

Hum
Merci malou de ta vigilance

Bon, alors pour le message de 13h44,
Les calculs sont bons, mais la manière de rédiger la récurrence est un peu désordonnée.
Il faut bien séparer :
La définition de la propriété P(k).
L'initialisation.
L'hérédité qui démarre avec ce qu'on appelle l'hypothèse de récurrence.

P(k+1) apparaît à la fin de l'hérédité.
Mais tu as toujours intérêt à l'écrire clairement au brouillon pour loucher dessus.
Le début de l'hérédité commence toujours par "on supposes que ...".
Et se termine ici par "donc P(k+1) est vraie".


D'accord merci alors
Bonne soirée



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