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Récurrence (résolu?)

Posté par
mathstud
29-09-22 à 19:03

Bonjour
Exo à faire et je suis un peu perdu

Voilà l'énoncé

On considère la suite (u,) définie pour tout enter naturel n non nul par Un=1/[n(n+ 1)]
On note, pour tout entier naturel n non nul:
Sn=U1+U2+...+Un
1. Calculer U1,U2 et U3 puis S1, S2 et S3. Donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.
2.
a) Conjecturer une expression de Sn en fonction de n
b) Démontrer cette conjecture par récurrence.

Question1: je suis sûr de mes résultats (heureusement)
U1=1/2      U2=1/6    et     U3=1/12
S1= U1=1/2
S2= U1+U2=(1/2)+(1/6)=4/6=2/3
S3= U1+U2+U3=(1/2)+(1/6)+(1/12)=9/12=3/4

Question 2: là pas sûr du tout

a) Les résultats précédents laissent présager que pour tout entier naturel n on a: Sn= n/(n+1).    (c'est bon?)

b) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel
n on a: Sn= n/(n+1)

Initialisation :
S1=U1=1/2
1/(1+1)=1/2
La propriété est donc vraie au rang 1

Hérédité :

Supposons vraie  pour un certain entier naturel n la relation suivante: Sn= n/(n+1) et montrons que S(n+1)= (n+1)/(n+2)

​​
S(n+1)= U1+U2+U3+...+Un+U(n+1)
Or Sn= U1+U2+U3+...+Un= n/(n+1)
alors S(n+1)= Sn +U(n+1)
D'après l'énoncé Un=1/[n(n+ 1)] et donc Un+1=1/[(n+1)(n+ 2)]
Donc S(n+1)=[ n/(n+1) ] + 1/[(n+1)(n+ 2)]
S(n+1)=[ n(n+2)/(n+1)(n+ 2) ] + 1/[(n+1)(n+ 2)]
S(n+1)=[ n(n+2) + 1]/ [(n+1)(n+ 2)]
S(n+1)=[ n2+2n + 1]/ [(n+1)(n+ 2)]
S(n+1)=(n+1)2/ [(n+1)(n+ 2)]
S(n+1)=[(n+1)(n+1)]/ [(n+1)(n+ 2)]
S(n+1)=(n+1)/ (n+ 2)

La propriété est donc héréditaire

Conclusion :
La propriété est initialisée et est héréditaire
On en déduit, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel n on a  Sn= n/(n+1)

Merci d'avance

Posté par
malou Webmaster
re : Récurrence (résolu?) 29-09-22 à 19:09

Bonjour mathstud

j'ai lu et n'ai pas vu d'erreur
tu sembles maîtriser le raisonnement par récurrence

Posté par
mathstud
re : Récurrence (résolu?) 29-09-22 à 19:10

Merci infiniment

Bonne soirée

Posté par
malou Webmaster
re : Récurrence (résolu?) 29-09-22 à 19:14

Je t'en prie, bonne soirée à toi aussi.
A une autre fois sur l'



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