Bonjour
Exo à faire et je suis un peu perdu
Voilà l'énoncé
On considère la suite (u,) définie pour tout enter naturel n non nul par Un=1/[n(n+ 1)]
On note, pour tout entier naturel n non nul:
Sn=U1+U2+...+Un
1. Calculer U1,U2 et U3 puis S1, S2 et S3. Donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.
2.
a) Conjecturer une expression de Sn en fonction de n
b) Démontrer cette conjecture par récurrence.
Question1: je suis sûr de mes résultats (heureusement)
U1=1/2 U2=1/6 et U3=1/12
S1= U1=1/2
S2= U1+U2=(1/2)+(1/6)=4/6=2/3
S3= U1+U2+U3=(1/2)+(1/6)+(1/12)=9/12=3/4
Question 2: là pas sûr du tout
a) Les résultats précédents laissent présager que pour tout entier naturel n on a: Sn= n/(n+1). (c'est bon?)
b) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel
n on a: Sn= n/(n+1)
Initialisation :
S1=U1=1/2
1/(1+1)=1/2
La propriété est donc vraie au rang 1
Hérédité :
Supposons vraie pour un certain entier naturel n la relation suivante: Sn= n/(n+1) et montrons que S(n+1)= (n+1)/(n+2)
S(n+1)= U1+U2+U3+...+Un+U(n+1)
Or Sn= U1+U2+U3+...+Un= n/(n+1)
alors S(n+1)= Sn +U(n+1)
D'après l'énoncé Un=1/[n(n+ 1)] et donc Un+1=1/[(n+1)(n+ 2)]
Donc S(n+1)=[ n/(n+1) ] + 1/[(n+1)(n+ 2)]
S(n+1)=[ n(n+2)/(n+1)(n+ 2) ] + 1/[(n+1)(n+ 2)]
S(n+1)=[ n(n+2) + 1]/ [(n+1)(n+ 2)]
S(n+1)=[ n2+2n + 1]/ [(n+1)(n+ 2)]
S(n+1)=(n+1)2/ [(n+1)(n+ 2)]
S(n+1)=[(n+1)(n+1)]/ [(n+1)(n+ 2)]
S(n+1)=(n+1)/ (n+ 2)
La propriété est donc héréditaire
Conclusion :
La propriété est initialisée et est héréditaire
On en déduit, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel n on a Sn= n/(n+1)
Merci d'avance
Bonjour mathstud
j'ai lu et n'ai pas vu d'erreur
tu sembles maîtriser le raisonnement par récurrence
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