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Niveau Maths sup
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Récurrence sinus

Posté par
jaimelecole
05-01-18 à 13:48

Bonjour à tous,
J'ai un exercice à faire pour la rentrée et je suis bloquée sur la première question. Je dois montrer que l'égalité suivante est vraie :
sin(x)=2n×cos(x/2)×cos(x/4)×...×cos(x/2n)×sin(x/2n) (x est un réel et n un entier)
Je n'y arrive pas je pense qu'il faut faire une récurrence mais je n'arrive même pas à l'initialiser.
Merci de votre aide

Posté par
carpediem
re : Récurrence sinus 05-01-18 à 13:50

salut

tout réel est le double de sa moitié ...

Posté par
jaimelecole
re : Récurrence sinus 05-01-18 à 14:15

Mais comment faire le lien avec la présence de cosinus ?
Si j'ai bien compris vous me dites :
2n×sin(x/2^n)=sin(x)
Et pour le reste de l'égalité on a n fois x?

Posté par
flight
re : Récurrence sinus 05-01-18 à 14:29

salut

essaie avec    sin(2X)=2.sinX.cosX

Posté par
Jezebeth
re : Récurrence sinus 05-01-18 à 14:31

Bonjour
Un conseil avant de faire la récurrence : écrire le résultat à montrer avec le symbole pi. Les "..." sont toujours à bannir si on veut être rigoureux.

Celle-là est classique, on remarque une simplification que tu vas vite voir je pense.

Posté par
flight
re : Récurrence sinus 05-01-18 à 14:35

..je detaille  .. en posant  X=x/2  il vient   cos(x/2)= sin(x)/2.sin(x/2)

ensuite en posant  X = x/4  il vient            cos(x/4)= sin(x/2)/2.sin(x/4)

ensuite en posant  X = x/8  il vient            cos(x/8)= sin(x/4)/2.sin(x/8)

etc...

Posté par
flight
re : Récurrence sinus 05-01-18 à 14:36

..et mutlpliiant entre eux les cos (x/2k) il y aura des simplifications evidentes

Posté par
lafol Moderateur
re : Récurrence sinus 05-01-18 à 14:47

jaimelecole @ 05-01-2018 à 14:15

Mais comment faire le lien avec la présence de cosinus ?
Si j'ai bien compris vous me dites :
2n×sin(x/2^n)=sin(x)
Et pour le reste de l'égalité on a n fois x?


Bonjour
Non ce n'est pas ce qu'il t'a dit...

Si tu savais ton cours, tu aurais pensé direct à sin(2a) =2 sin(a)cos(a) ....
Et tu saurais d'où sors le cosinus....

Posté par
carpediem
re : Récurrence sinus 05-01-18 à 18:00

carpediem @ 05-01-2018 à 13:50

salut

tout réel est le double de sa moitié ...

jaimelecole @ 05-01-2018 à 14:15

Mais comment faire le lien avec la présence de cosinus ?
Si j'ai bien compris vous me dites : ben non tu n'as pas compris
2n×sin(x/2^n)=sin(x)
Et pour le reste de l'égalité on a n fois x?


\sin x = \sin 2 \dfrac x 2 = 2 \cos (x/2) \sin (x/2) = 2 \cos (x/2) \sin (2 \dfrac x 4) = 2^2 \cos (x/2) \cos (x/4) \sin (x/4) = ...

Posté par
jaimelecole
re : Récurrence sinus 07-01-18 à 15:28

Merci à tous pour votre patience et vos réponse

Posté par
carpediem
re : Récurrence sinus 07-01-18 à 17:47

de rien



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