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Niveau Maths sup
Récurrence Suite à 3 rangs
Posté par Sakhal
Bonjour !
On considère la suite (Un) définie par :
U0 = 0, U1= 3, U2 = -12 et pour tout n appartenant au entier naturel,
Un+3 = 2Un+2 - Un
Montrer que pour tout n entier naturel, Un est un entier relatif multiple de 3.
En Terminal je n'ai jamais travailler sur ces types de suites du coups pour la récurrence je suis bloqué, par ailleurs j'ai commencé cela :
Initialisation :
U0= 0 -> divisible par 3
U1= 3 -> divisible par 3
U3= -12 -> divisible par 3
Hérédité : Soit Un = 3k (HR)
Un+4 = 3 Un+3 - Un+1
Un+4 = 2 (2 Un+2 - Un) - Un+1
Un+4 = 4 Un+2 - 2 Un - Un+1
Un+4 = 4 Un+2 - 2 x 3k - Un+1
Un+4 = 4 Un+2 - 6k - Un+1
Voilà 
Bonjour,
Il faut ici raisonner par récurrence triple.
- Pour l'initialisation, tu as écrit au lieu de
. De plus, il faut justifier que u0; u1 et u2 sont des entiers.
-L'hérédité ne va pas du tout. On suppose que ;
et
sont des entiers divisibles par 3 et on utilise la relation de récurrence. Ecrit proprement tes divisibilités et le résultat sera presque évident.
Bonjour,
la différence de deux multiples de 3 est un multiple de 3.
Ton hypothèse de récurrence est mal choisie.
Pour , tu peux te permettre de supposer que
,
, et
sont tous multiples de 3, car tu l'as montré pour
,
et
, donc c'est vrai pour
, et ainsi de suite...
Merci de votre rapidité :
Bon à ce que j'essaye de comprendre j'ai fais la chose suivante :
Hérédité :
On suppose que :
Un-1 = 3k
Un-2 = 3k
Un-3 = 3k
Après je suis un peu confus car au final on essaye de trouver quelque chose de ce genre là non ? : Un-4 = 3k ?
PS: Pourquoi faire dit vous Un-1 Un-2 Un-3 et non Un+1 Un+2 Un+3 ?
Hérédité :
On suppose que :
Un-1 = 3k'
Un-2 = 3k''
Un-3 = 3k '''
Un= 3k [HR]
Un-4 = 2 Un-2 - Un
Un-4 = 2x3k'' - Un
Un-4 = 2x3k'' - Un
Un-4 = 2x3k'' - 3k
Un-4 = 3 (2k'' - k)
Donc normalement c'est bon ? est un montre que (2k'' - k) est un entier relatif ?
Tu fais des confusions sur les indices.
A priori on sait que Un-4 est un multiple de 3.
Le problème est de montrer que Un est un multiple de 3.
Et l'hypothèse de récurrence est
Citation :
Un-1 = 3k'
Un-2 = 3k''
Un-3 = 3k '''
Un-1 = 3k'
Un-2 = 3k''
Un-3 = 3k '''
Pour ceci on écrit
Un=2Un-1-Un-3=3(2k'-k''')
Au passage Un-4 = 2 Un-2 - Un est une relation fausse dans le cadre de l'énoncé.
Je pense avoir capté (promis et j'espère que se soit mon dernier pavé ) :
Initialisation :
U0= 0 -> divisible par 3
U1= 3 -> divisible par 3
U2= -12 -> divisible par 3
Hérédité :
On suppose que :
Un-1 = 3k' [HR]
Un-2 = 3k'' [HR]
Un-3 = 3k ''' [HR]
Ainsi :
Un = 2 Un-1 - Un-3
Un = 2x3k' - 3k '''
Un = 3(2k'-k''')
Conclusion : Un est un multiple de 3.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PS : Si je fais cela en changeant les indices c'est équivalent ou pas ? Même si j'ai l'impression que cela ne va pas, je voudrai avoir votre avis une dernière fois
Initialisation :
U0= 0 -> divisible par 3
U1= 3 -> divisible par 3
U2= -12 -> divisible par 3
Hérédité :
On suppose que :
Un+1 = 3k' [HR]
Un+2 = 3k'' [HR]
Un+3 = 3k ''' [HR]
Ainsi :
Un+4 = 2 Un+3 - Un+1
Un+4 = 2x3k''' - 3k'
Un+4 = 3(2k'''-k')
Donc la formule est vrai au rang n+4. Par récurrence pour tout n entier naturel, Un est un entier relatif multiple de 3.
J'ai honte d'être passé à côté de quelque chose finalement d'aussi évident 
... Je vous exprimes mes plus sincère remerciement pour la clarté de vos explications ! Et infiniment désolé de vous avoir fait perdre de votre temps à mon sujet.
Bonne soirée !
Il n'y a pas de quoi avoir honte.
Passer à côté de l'évidence est le lot commun, en mathématiques.
Bonne soirée à toi aussi.
salut
THE : toute combinaison linéaire de deux multiples d'un entier est multiple de cet entier
soit la proposition sont multiples de 3
supposons P(n) vraie pour un entier n
donc u_n, u_{n + 1} et u_{n + 2} sont multiples de 3
donc d'après le THE u_{n + 3} est multiple de 3
donc u_{n + 3}, u_{n + 2} et u_{n + 1} sont multiples de 3
par conséquent P(n + 1) est vraie
et donc la proposition est vraie
....
