Bonjour,
On se donne E, un -espace vectoriel de dimension finie n, .On suppose qu'il existe vérifiant P(0)=0, P'(0)0 et P(u)=0.Montrer que .
u est trigonalisable mais pas forcément diagonalisable (P n'est pas forcément à racines simples).
On a l'existence de P qui annule u avec 0 comme racines mais aucune indication pour établir un lien entre P et le polynôme minimal ou caractéristique de u ..
Comme P( est valeur propre de u est une propriété fausse je ne vois pas comment démarrer ..
Je ne vois pas non plus comment on pourrait utiliser le théorème de décomposition des noyaux ou démontrer l'égalité « à la main »..
Un coup de pouce? Merci de votre aide
salut
si P(0) = 0 etP(0) <> 0 alors il existe un réel a non nul tel que P s'écrit x + ax^2 + ...
donc P(u) = uQ(u) = u(I + au + ...)
u et Q(u) sont premiers entre eux ...
pardon ce que j'ai écrit n'est pas correct ... mais il y a peut-être une idée derrière ...
bonjour,
Ici comme le corps est C, et P(U)=0 le spectre de U est constitué de racines de P dans C,
un des sous espaces spectraux est Ker(u) (car p(0)= 0 )
Bonjour,
Non désolé Domorea P(0)= 0 n'implique pas que 0 soit valeur spectrale.
Est-ce que tu connais le lemme des noyaux ? Sinon suit l'idée de carpediem ....
Dites moi si cela vous paraît correct:
En reprenant l'idée de carpediem,
Le polynôme annulateur de u P est de la forme avec r, un entier naturel inférieur ou égal à n ( car P(0)=0 ) donc avec et X et Q premiers entre eux.
D'après le théorème de décomposition des noyaux, .
En passant cette égalité aux dimensions et en utilisant le théorème du rang, on obtient que , il ne faut montrer qu'une inclusion pour avoir l'égalité entre nos 2 ensembles:
Soit Alors, donc
…(a est bien différent de 0 comme carpediem l'a justifié) donc en posant …, il existe , .
D'où le résultat
Merci de votre aide
il n'y a aucune raison que r soit inférieur à n : P peut avoir n'importe quel degré ...
plutôt écrire Q(u)(y) = 0
pour le reste ça semble être ça ...
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