Bonsoir,

u  diagonalisable équivaut à  E  somme directe des espaces propres.Pour les valeurs propres non nulles montre qu'il n'y a pas de soucis.

Alors u diago ssi, ça je suis tout à fait d'accord mais je ne comprends pas pourquoi le fait de vérifier que cette égalité reste vraie pour les valeurs propres non nulles permettra de montrer ??
Merci de votre aide

si   a  n'est pas nul,   X^q-a^q  s'écrit comme produit de facteurs de degré  1  premiers entre eux donc tu peux décomposer tes noyaux ..

je pense que tu sais faire le lien entre les valeurs propres de  u  et celles de  u^q

Je résume:
on suppose u diagonalisable. Alors, en interprétant u matriciellement, est diagonalisable donc E est à la fois la somme directe des sous espaces propres de u et de donc car oui les valeurs propres de u^q sont celles de u à la puissance q..
Si on a une valeur propre nulle, on obtient .
Si une valeur propre n'est pas nulle, je suis votre deuxième indication donc   s'écrit comme produit de facteurs de degré  1  premiers entre eux, on utilise le théorème de décomposition des noyaux :
(car )  ...Et alors là
Dites moi si cela vous parait correct ou si je dis n'importe quoi
Merci de votre aide

salut

u est diagonalisable donc u^q est diagonalisable et ses valeurs propres sont celles de u à la puissance q ...

u et u^q ont les mêmes sous-espaces propres (associés aux valeurs propres respectives a et a^q) car les sous-espaces propres sont stables)

donc Ker (u^q) = Ker u

Justement ce que je disais dans le dernier message c'est que je ne comprends pas comment on passe de u et u^q ont les mêmes sous espaces propres à donc ils ont le même noyau.. Pouvez-vous détailler svp ?
Merci de votre aide

le noyau d'un endomorphisme n'est-il pas le sous-espace propre associé à la valeur 0 ?

Tout à fait d'accord mais u est ici un endo de manière générale, on ne connaît pas son spectre, que se passe t-il si 0 n'est pas valeur propre de u? Les 2 sous espaces propres sont égaux mais dans ce cas on ne peut pas conclure sur l'égalité des noyaux..

Les sous espace propres de u et u^q sont égaux plutôt *

Bonsoir,

alors tu n'as plus que le sens   u^q  diagonalisable à traiter. Tu écris ta somme d'espaces propres pour  u^q,   pour le noyau, rien à faire , par contre pour les autres tu décomposes avec les  q  racines  de  a  non nul et tu compares avec la somme des espaces propres pour u .

et si  0  n'est pas valeur propre de  u alors  elle ne l'est pas de  u^q  non plus les  noyaux sont nuls, il n'est pas nécessaire de séparer ce cas.

Ok en effet faire une disjonction des cas n'est ici pas nécessaire..
Ok pour le sens de gauche à droite!
de droite à gauche: on a
et là je ne comprends pas votre raisonnement:
je comprends bien qu'on doit utiliser le théorème de décomposition des noyaux pour aboutir au fait que les sous espaces propres de u et u^q sont égaux. On aura alors (en utilisant aussi l'égalité des noyaux) puis u sera donc diagonalisable. Pouvez-vous l'expliciter un petit peu plus svp?
Merci de votre aide

X^q-a^q  est un produit de facteur de degré 1  (X-a) (X-a₂)...(X-a_q)  où   a_i =  a  multiplié par une racine  qième de l'unité.  (pour   a  non nul)  donc

E  est somme directe de   Ker(u^q)  et de tous les  Ker(u- a_iI)   (on les mets tous) .  Pour  que   u   soit diagonalisable il faut qu e E soit somme directe d'espaces propres, tu les as tous sauf  Ker(u)  comme il y a une inclusion....  (j'ai la flemme d'écrire les sommes directes avec latex..)

Ok je ne comprenais pas la décomposition et c'est maintenant beaucoup plus clair!
On obtient donc que E est somme directe des sous espaces propres associés à u donc u est diagonalisable, on a notre équivalence
Merci pour ton aide

Tu peux aussi remarquer que si est polynôme annulateur de (il y a un polynôme annulateur à racines simples) alors est scindé, à racines simples et est polynôme annulateur de .
Il suffit d'étudier les restrictions de aux espaces propres de qui sont en somme directe, en tenant compte de l'égalité des noyaux.

Petite rectification : le produit est étendu à toutes les valeurs propres non nulles de