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Réduction hermitienne

Posté par
scoatarin 16-05-18 à 11:25

Bonjour à tous,

A titre de préparation pour un examen de d' Algèbre de L2, on m'a conseillé d'étudier
un exemple de cours mais comment mettre des barres sur les lettres en latex
pour pouvoir rédiger l'énoncé.

Merci.  

Posté par
larrechre : Réduction hermitienne 16-05-18 à 11:28

Bonjour,

\bar{z},   \overline{ab}

d'autres sans doute que j'ignore..

Posté par
Schtromphmolre : Réduction hermitienne 16-05-18 à 11:38

Bonjour.

\bar{\text{Tu as aussi un assistant latex à disposition (bouton à droite du bouton de balise latex). Il y a aussi un tuto basique latex sur le forum.}}

Posté par
scoatarinre : Réduction hermitienne 16-05-18 à 12:27

Merci,

L'énoncé est :

Considérons dans 3 la forme quadratique hermitienne

q(x1, x2, x3,x4) =  x_{1}\bar x_{1} -  2ix_{1}\bar x_{2}  +  2ix_{2}\bar x_{1}  +  ix_{1}\bar x_{3}  -  ix_{3}\bar x_{1}  + 2x_{2}\bar x_{2}  +  2x_{2}\bar x_{3}  -  2ix_{2}\bar x_{3}  + 2ix_{3}\bar x_{2}.

Alors q contient le terme x_{1}\bar x_{1} = |x_{1}|^2, et les termes contenant  x_{1}   ou  \bar x_{1} sont :

x_{1}\bar x_{1} -  2ix_{1}\bar x_{2}   +  2ix_{2}\bar x_{1} +  ix_{1}\bar x_{3}  -  ix_{3}\bar x_{1}  =  |x_{1}|^2 + 2\mathfrak{R}(x_{1}\bar{(2ix_{2} - ix_{3})}) = ...

Je ne comprends pas comment on obtient cette égalité

Merci de me l'expliquer.

Posté par
larrechre : Réduction hermitienne 16-05-18 à 12:46

Re,

Je note x   et   y au lieu de x_1 et x_2

2ix\bar{y} et -2i \bar{x} y sont complexes conjugués. Leur somme est donc un réel qui vaut 2 fois la partie réelle de l'un d'entre eux.

Posté par
scoatarinre : Réduction hermitienne 16-05-18 à 12:59

larrech

Merci beaucoup pour ce rappel fondamental.

Les nombres complexes sont l'un de mes nombreux talons d'Achille  

Posté par
scoatarinre : Réduction hermitienne 16-05-18 à 15:01

Ensuite, on a:

= |x_{1} + 2ix_{2} - ix_{3}|^2 - |2ix_{2} - ix_{3}|^2
= |x_{1} + 2ix_{2} - ix_{3}|^2 - 4|x_{2}|^2 - |x_{3}|^2 + 4\mathfrak{R}(x_{2}\bar x_{3})

Je ne comprends pas comment on obtient  \bar x_{3}

Merci de me l'expliquer.  

Posté par
scoatarinre : Réduction hermitienne 16-05-18 à 15:08

Je viens peut-être de trouver: on doit appliquer le produit scalaire hermitien ?

Posté par
larrechre : Réduction hermitienne 16-05-18 à 15:14

Oui, on applique |z|^2=z\bar{z} et on utilise aussi ce qui précédait pour obtenir le 4\mathfrak{R}(x_{2}\bar x_{3}).

Posté par
scoatarinre : Réduction hermitienne 16-05-18 à 16:51

larrech

Merci bien pour ton aide.

Je vais m'arrêter là car, au vu de la correction, je suis bien incapable de résoudre ce  type d'exercice entièrement pendant un examen qui dure 2 heures et qui peut comporter jusqu'à 6 exercices.

Je préfère faire des révisions sur des notions que je me sens capable d'aborder lors de l'examen.  

Posté par
larrechre : Réduction hermitienne 16-05-18 à 16:53

OK, scoatarin,


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