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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Réflexion par rapport à un plan

Posté par
dugdug13
31-03-21 à 11:10

Bonjour,
Voici l'énoncé de mon exercice sur lequel je bug..
"Montrer que l'application :
(x, y, z) → 􏰁 (1/9 (x − 8y − 4z + 2), 1/9 (−8x + y − 4z + 2), 1/9 (−4x − 4y + 7z + 1)􏰂 ) définit une réflexion (c'est-à-dire une symétrie orthogonale par rapport à un plan) des points de l'espace R^3 ."

Pour résoudre ce problème, j'ai fait une figure que l'on peut voir ci-dessous. Avec M= (x,y,z), M'= (x',y',z') et H= ((x+x')/2, (y+y')/2, (z+z')/2)
J'ai d'abord voulu déterminer les points invariants c'est à dire tels que M = M' et donc x=x', y=y' et z=z'. Ce système me donne :
x = -y - 1/2z +1/4
y = -x -1/2z + 1/4
z = -2x -2y +1/2
Ce que j'aimerais par la suite c'est trouver l'équation du plan P à l'aide de H (car H est sur P). Et grâce à cette équation trouver le vecteur normal à P pour montrer que les vecteurs MM' et n sont colinéaires.
Or mes calculs ne sont pas bons et je suis du coup bloqué au système des points invariants car je ne vois pas quoi faire derrière ce système ...

Pouvez-vous m'aider ?
Merci beaucoup !

Réflexion par rapport à un plan

Posté par
DOMOREA
Réflexion par rapport à un plan 31-03-21 à 11:36

bonjour,
Tu n'as pas remarqué que tes 3 équations sont identiques

Posté par
dugdug13
re : Réflexion par rapport à un plan 31-03-21 à 11:57

Bonjour,
Oui en effet, j'obtiens trois équations identiques (2x+2y+z-1/2 = 0 ), mais je pensais que je m'étais trompée quelque part..
Cela signifie t-il que l'équation trouvée correspond à celle du plan ?
C'est-à-dire P : 2x+2y+z-1/2 = 0

Posté par
malou Webmaster
re : Réflexion par rapport à un plan 31-03-21 à 12:04

Bonjour
bien sûr, puisque tu l'as obtenu comme l'ensemble des points invariants

Posté par
dugdug13
re : Réflexion par rapport à un plan 31-03-21 à 12:13

Bonjour,
D'accord merci beaucoup !! En fait c'était plus simple que ce que je pensais !
Encore merci beaucoup à vous !



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