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reflexions sur la recherche et l'abstration en maths
J'étais étudiant en DEA à Orsay en 70-71 et j'ai suivi des cours d'enseignants de l'école de Grothendieck. J'ai été assez découragé par ces abstractions et le fait que personne ne prenne la peine d'en expliquer les tenants et aboutissants. Des facteurs personnels et dus à l'époque sont aussi entrés en jeu. Grothendieck aimait construire des théories (il a écrit des milliers de pages que peu de gens arrivent actuellement à comprendre), mais ces théories ont-elles conduit à beaucoup de résultats ? Le résultat essentiel de ces dernières années, le théorème de Fermat, a été obtenu par des voies relativement plus classiques, à coup de fonctions modulaires et d'ingénieuses combinaisons de différents domaines des mathématiques. Le grand problème non résolu actuel, l'hypothèse de Riemann, ne semble pas être approché par les voies de la géométrie algébrique, les progrès les plus récents semblent être du domaine de l'analyse. Grothendieck lui même s'est perdu dans la nature. C'était son choix, et je suis pas loin d'avoir fait un chemin voisin. Son parcours reste étonnant et remarquable. Mais les enseignements que je tire de l'histoire des mathématiques depuis le milieu du 20 ème siècle sont que les mathématiciens devraient se soucier davantage d'analyser et d'expliquer les origines et les objectifs de leurs recherches, travailler en équipes (l'individualisme et le désir forcené d'être le premier à démontrer tel résultat semblent hélas rester la règle dans le domaine de la recherche) et mettre l'accent sur les connexions possibles et les synergies entre les différents domaines mathématiques, qui ont été la clef des récents succès. Cela veut dire encore apprendre à travailler en équipe. On peut m'objecter l'exemple de Grigori Perelman, mais qu'a-t-il partagé ? qu'est-il devenu depuis ? En résumé, exprimer les choses dans un langage moderne ne saurait être une fin en soi. Il s'agit que cette expression prouve son caractère opérationnel. Il s'agit également de ne pas oublier que tout progression ne peut ignorer ses bases. Grothendieck les possédait sans doute. Combien de mathématiciens à l'heure actuelle ont la capacité d'assimiler à la fois ces bases et ce langage moderne en le rendant opérationnel ?
J'étais étudiant en DEA à Orsay en 70-71 et j'ai suivi des cours d'enseignants de l'école de Grothendieck. J'ai été assez découragé par ces abstractions et le fait que personne ne prenne la peine d'en expliquer les tenants et aboutissants.
C'est dommage qu'on n'ai pas su te les faire saisir à ce moment là.
Des facteurs personnels et dus à l'époque sont aussi entrés en jeu. Grothendieck aimait construire des théories (il a écrit des milliers de pages que peu de gens arrivent actuellement à comprendre), mais ces théories ont-elles conduit à beaucoup de résultats ?
Des tonnes. Vraiment des tonnes. Je m'étonne de ton discours, car il va quand meme a l'encontre de ce qu'ont été les maths de la seconde moitié du XXeme sicèle. Aucun mathématicien n'a une oeuvre dont la fécondité égale celle de Grothendieck, pas même Gauss ou Riemann ou Hilbert.
Des tas de gens maitrisent les fondements de la géométrie algébrique tels qu'écrit par Grothendieck (et sans fausse modestie, je m'estime en faire partie, enfin disons au moins les EGA, comme la quasi totalité c'est géomètres algébristes de la planète, le langage de Grothendieck fait partie de l'air que l'on respire).
Le résultat essentiel de ces dernières années, le théorème de Fermat, a été obtenu par des voies relativement plus classiques, à coup de fonctions modulaires et d'ingénieuses combinaisons de différents domaines des mathématiques.
Déja dire que c'est le résultat essentiel est débattable. Mais surtout c'est un TRES mauvais exemple, la preuve de Weil dépend de manière cruciale des travaux de Grothendieck. De pleins de façons differentes, et ne serait ce que parce que Wiles étudie des déformations de representations Galoisiennes dans l'homologie l-adique, ce dont on ne saurait meme pas parler sans le langage de Grothendieck et l'homologie l-adique a été construite par... Grothendieck et ses élèves.
Le grand problème non résolu actuel, l'hypothèse de Riemann, ne semble pas être approché par les voies de la géométrie algébrique, les progrès les plus récents semblent être du domaine de l'analyse.
La encore dire que c'est LE grand problème non résolu est débatable (personnellement je trouve la conjecture de Hodge plus fondamentale, mais bon, c'est mes intérêts personnels).
Et là encore comment ignorer tous les travaux de Connes dont le but a justement été de mimer la preuve de Deligne en construisant une cohomologie étale "non commutative" pour appliquer exactement les techniques mises au point par Grothendieck, Weil et Deligne dans la preuve des conjectures de Weil.
Combien de mathématiciens à l'heure actuelle ont la capacité d'assimiler à la fois ces bases et ce langage moderne en le rendant opérationnel ?
Ben... l'immense majorité je dirais.
Le langage de Grothendieck dans les maths actuel c'est pas un argot confidentiel... c'est la "langue officielle".
L'immense majorité du moins de ceux qui font de la géométrie algébrique, de la géométrie arithmétique et de la théorie des nombres.
comme je le disais un jour à une de mes prof de licence alors que je lisais les sujets de DEA et autres thèses affichés sur un tableau dans un couloir : pourrait-on avoir une traduction en français ? ... 
(c'était "déjà" en français)
si l'on parle de langage mathématique ce n'est pas pour rien : plus on avance plus il faut apprendre une langue (et même différentes langues suivant les mathématiciens à qui on s'adresse)
enfin n'oublions pas que la théorie de Galois, la théorie de Fourier ou celle de la relativité était totalement incomprises à leur sortie ... et pourtant que d'applications maintenant
(sans Fourier par exemple nous n'aurions pas tous les appareils de musique et autres traitements de signal)
boninmi : tu as évidemment raison sur certains points mais tout comme mokassin et derrière vos deux propos il y a en fait toute une philosophie du travail scientifique, de la recherche, de l'acquisition ou production de nouveaux savoirs ... et de ce que l'on en fait ou peut en faire
malheureusement notre système politico-économique pousse souvent à aller du côté obscurs de la force !!! et 
... si je peux me permettre ...modestement de donner mon point de vue 
Mais les théories de Grothendieck ne sont pas du tout "incomprises", elles sont utilisées tout le temps et partout, et sont totalement "mainstream".
Peut etre peut on revenir à l'exercice de départ? Et déplacer les messages afférant à l'oeuvre de Grothendieck dans une discussion annexe?
L'immense majorité du moins de ceux qui font de la géométrie algébrique, de la géométrie arithmétique et de la théorie des nombres.
Je comprends parfaitement les arguments de boninmi. Je ne dirai pas que je les plussoie...mais je les comprends.
Après, je pense qu'il faut être prêt à apprendre une nouvelle langue en profondeur, même quand on en voit pas les tenants et aboutissants de prime abord, car c'est un peu l'histoire des maths....
...Mais d'un autre côté, le langage et l'abstraction pour l'abstraction est aussi improductif et un danger à éviter en maths (je ne sais plus où je l'ai lu...mais c'était une réflexion (intéressante et pertinente) que menaient certains matheux.....)
Bonjour
Je soutiens mokassin. J'ai suivi dans une autre vie un séminaire dont le but était de travailler les théories de Grothendieck très peu de temps après leur parution. Pour les matheux de l'époque sa manière de voir les choses était extra-ordinaire, totalement novatrice. En effet, avec le temps on s'habitue et on utilise des choses sans savoir d'où et comment elle viennent. Et c'est très bien ainsi. On n'a pas à refaire l'histoire à chaque fois!
L'immense majorité du moins de ceux qui font de la géométrie algébrique, de la géométrie arithmétique et de la théorie des nombres.
Une minorité?
Alors... je suis pas sociologue des maths, donc il est possible que je dise des bétises, mais je dirais que ca représente au moins 1/3 des mathématiciens au doigt mouillé?
Un indicateur qui vaut ce qu'il vaut, sur mathoverflow, qui regroupe les questions niveaux recherche les deux plus gros tags sont geométrie algébrique et théorie des nombres:
https://mathoverflow.net/tags
Un autre indicateur, peut etre tout aussi biaisé: sur les medailles fields de ces 50 dernieres années, y en a environ 40% qui releve de la théorie (non analytique) des nombres et de la géométrie algébrique (en un sens vraiment grothendieckien).
Je dirai vraiment pas que c'est une extreme minorité, je dirait que c'en est un gros morceau au contraire.
Mais là encore je suis ptet à coté de la plaque.
M'enfin.
...Mais d'un autre côté, le langage et l'abstraction pour l'abstraction est aussi improductif et un danger à éviter en maths (je ne sais plus où je l'ai lu...mais c'était une réflexion (intéressante et pertinente) que menaient certains matheux.....)
Ca c'est tres vrai par contre, brasser des generalités pour brasser des generalités n'a aucun intéret.
Mais j'ai du mal à voir cette phrase appliquée à Grothendieck, c'est un peu... l'antithèse de ca justement.
...Mais d'un autre côté, le langage et l'abstraction pour l'abstraction est aussi improductif et un danger à éviter en maths (je ne sais plus où je l'ai lu...mais c'était une réflexion (intéressante et pertinente) que menaient certains matheux.....)
Ca c'est tres vrai par contre, brasser des generalités pour brasser des generalités n'a aucun intéret.
Mais j'ai du mal à voir cette phrase appliquée à Grothendieck, c'est un peu... l'antithèse de ca justement.
Bon, j'ai peut-être manqué d'explications. Où pas été assez motivé et mûr à l'époque pour les rechercher. Et manqué quelques étapes dans les résultats récents. Pas grave. Content d'avoir provoqué une discussion intéressante. Revenons à "l'exercice"
. Revenons à nos moutons, comme disait M. Coissard, prof de spé au lycée du Parc. 
à approfondir je l'admets....
(le mot "extrême" était sans doute mal choisi Mais tel quel, ces indicateurs à eux seuls ne sont pas vraiment suffisants...un autre indicateur en plus, donnant une meilleure idée (bien qu'imparfaite) aidant à mieux voir, serait éventuellement le nombre de publications par "domaine")
Bon finalement...
devant l'énorme succès de ce fil, je donne la réponse. ^^
Sinon y aurait-il une référence abordable (pdf en ligne gratuit si possible) introduisant à toutes ses notions?
J'ajoute que de toute façon ce genre de "classement" est un peu arbitraire et a pu conduire à ce que certaines branches des maths soit un peu injustement delaissées (comme les probabilités par exemple).
Mais tout ca pour dire que ce genre d'idées se portent très bien et ne conduiront pas ceux qui les étudient dans des tours d'ivoire stériles et deconnectées
Sinon y aurait-il une référence abordable (pdf en ligne gratuit si possible) introduisant à toutes ses notions?
Lesquelles?
L'exo que j'ai posé au debut doit se trouver dans la majorité des cours d'introduction à la théorie des groupes j'imagine (je suis a peu pres sur qu'il est sous une forme ou sous une autre dans Algebra de Lang par exemple).
Pour la notion d'objets injectifs et pourquoi ce sont des objets fondamentaux on peut regarder du coté catégorique avec l'excellent bouquin de MacLane Categories for the Woking mathematician ou alors pour leur application dans un contexte plus homologique il y a introduction to homological algebra de Weibel
http://math.columbia.edu/~ltruong/weibel-homological-algebra.pdf
Ces notes de cours de Schapira sont pas mal aussi
https://webusers.imj-prg.fr/~pierre.schapira/lectnotes/AlTo.pdf
La théorie des faisceaux est très bien expliquée dans l'ouvrage de Godement Théorie des faisceaux ou dans celui de Voisin Théorie de Hodge et Géométrie algébrique complexe.
Comprendre pourquoi la théorie des faisceaux unifie toutes les théories cohomologiques classiques (à la Eilenberg Steenrod) est à mon avis ultra satisfaisant.
Pour la notion de site, et de topologie de Grothendieck.
Il y a énormément de choses sur le stack project bien sur, avec les défauts associés (c'est simplement un catalogue de preuves et de résultats)
https://stacks.math.columbia.edu/download/sites.pdf
Je pense aussi à sheaves in geometry and logic, qui est à mon avis la meilleure référence pour la notion de site et de topologie de Grothendieck. Pour ma part j'ai appris ça dans le contexte de la géométrie algébrique directement (mais c'est tres loin de se limiter à ca), dans le bouquin de Milne (et dans... SGA 4,5 ), les notes sont dispo en ligne (https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/LEC.pdf), mais à mon avis c'est pas une bonne référence (c'est trop orienté topologie étale).
Y a un excellent papier de Mumford aussi qui doit traîner sur mon DDE où il construit les espaces de modules des courbes de genre g à n points marqués et où il explique ça très bien (Mumford explique tout très bien ).
Mais à mon avis ces choses ne sont intéressantes que dans un second temps, les notions de topologie de Grothendieck et de sites ne sont pas dures en soit, ce sont essentiellement des définitions et des généralités, mais il faut avoir de la matière à quoi les appliquer.
Typiquement l'exemple que j'ai donné plus haut est intéressant et très simple, on a un objet à un seul "point" et sur lequel on a pourtant une notion de faisceau non triviale, cela permet de faire "sentir" ce qu'est une topologie de Grothendieck, qui en soi est un petit gadget assez simple, ça coûte pas beaucoup cher de développer la cohomologie des faisceaux sur un site, que sur un espace topologique.
Mais tout ceci n'est qu'une ouverture, l'exo de base reste... tres simple
Je peux proposer des questions intermédiaires sur l'exo de départ.
Peut on caractériser les groupes abéliens X, tels que pour toute suite exacte de groupe abéliens
cette suite exacte se scinde (à droite ou à gauche c'est équivalent).
J'appelle (Split) la propriété de l'énoncé: toute suite exacte courte de groupes abéliens commencant par X se scinde.
Supposons que X satisfasse (Split)
1/ Montrer que X est injectif, c'est à dire que si l'on a G un groupe abélien, H un sous groupe de G, et f une injection de H dans X, alors cette injection se prolonge en un morphisme de G dans H (on pourra regarder XxG/(f-i)(H) ou f:H->X et i:H->G)
2/En déduire que X est nécéssairement divisible.
On prouve ensuite la réciproque. On suppose que X est divisible
3/ Montrer qu'un groupe abélien X, injectif (cf la definition du 1/) verifie (Split).
4/ On veut prouver que X est injectif, on se donne donc H et G comme dans 1/, et f:H->X, on veut étendre f à G.
On considère le poset suivant: l'ensemble des couples (H', h) ou H' est un sous groupe de G contenant H, et h étend f. Montrer que ce poset est non vide et inductif.
5/ D'apres le lemme de Zorn ce poset possède un élément maximal, disons (K, k), montrer que K=G et en déduire le résultat.
boninmi, je viens de réactiver mes notifications pour voir;..à cette heure ça a l'air de passer...mais Sylvieg me dit qu'elle ne les a pas reçues cette AM...
on va continuer à observer
Peut etre, peut on scinder cette discussion, et laisser uniquement les messages se rapportant à l'exo inital dedans, et les considérations sur la recherche etc... dans un autre fil?
Juste une suggestion, pour améliorer la lisibilité de celui-ci.
Peut etre, peut on scinder cette discussion, et laisser uniquement les messages se rapportant à l'exo inital dedans, et les considérations sur la recherche etc... dans un autre fil?
Juste une suggestion, pour améliorer la lisibilité de celui-ci.
Oui, en effet.
J'ai regardé par curiosité sur l'arxiv pour les publis de mars 2020 (je n'ai pas reussi à avoir le nombre total ou meme sur une année).
Malgré le découpage parfois un peu arbitraire (il y a une catégorie K-theorie et Homologie par exemple qui est assez spécifique) les catégories les plus fournies (je n'ai pas compté les maths app comme analyse numérique ou optimisation et controle ou la physique mathématiques) sont
L'indice est meilleur que les autres soulevés précédemment, mais tout de même pas parfait. Il indique un peu plus la productivité dans un domaine que le nombre de personnes travaillant dans le dit domaine (même si il y a une très forte corrélation entre les deux).
Sinon pour 1, 2 et 4 je ne suis absolument pas surpris. J'avais déjà une impression (subjective) lors de mon M2 (moins d'une dizaine d'années) que beaucoup de choix de beaucoup d'universités se réduisaient de plus en plus à ces domaines, ou du moins qu'ils étaient hyper mis en avant (bien plus que d'autres). Sous réserve de plus d'analyse (des article publiés sur quelques décennies), ça me paraît une proportion pas trop délirante.
Ca c'est tres vrai par contre, brasser des generalités pour brasser des generalités n'a aucun intéret.
Mais j'ai du mal à voir cette phrase appliquée à Grothendieck, c'est un peu... l'antithèse de ca justement.
Je ne sais quasiment rien de ses travaux, donc je serai bien curieux de découvrir tout ça.
Je serai moins catégorique sur le "aucun intérêt". Des pans ont été développés sans particulièrement vouloir avancer sur un problème précis et ont néanmoins été très féconds. Je pense notamment à Noether, qui ne me semblait pas avoir beaucoup d'autres motivations...que de généraliser
(je me trompe peut être)
Merci pour les réfs!
Je serai moins catégorique sur le "aucun intérêt". Des pans ont été développés sans particulièrement vouloir avancer sur un problème précis et ont néanmoins été très féconds. Je pense notamment à Noether, qui ne me semblait pas avoir beaucoup d'autres motivations...que de généraliser
(je me trompe peut être)
Merci pour les réfs!
Ca n'est pas mon impression.
Mais je ne sais pas tout ce qu'elle a fait.
Tu as un exemple en tête?
Apres tout dépend ce qu'on appelle "généraliser pour généraliser", étendre la théorie du corps de classe aux extensions non abéliennes, c'est une généralisation qui ne se fixe pas un problème précis, mais c'est une question tellement naturelle et fondamentale (et feconde!!), que je ne le classe bien évidement pas dans ce contexte.
Ce que je veux dire c'est que developper des généralités sur une composante connexe etrangère aux autres maths me semble d'un interet douteux.
A la base y a tjs un point de départ, et des retombées au moins potentielles.
La recherche n'a pas nécessairement à se soucier de retombées potentielles.
D'une certaine façon, c'est un jeu de l'esprit. Par contre, il y a toujours, au moins dans l'esprit du chercheur, un point de départ. Généralisation, abstraction de plus en plus poussées, sont en ce sens inévitables. Mais pour ne pas se retrouver perdu dans une tour d'ivoire, il faut être capable de faire le lien avec la communauté, d'expliquer. Cela m'a manqué. Et je crois utile de garder les problèmes non encore résolus comme points de repères. La recherche se situe dans un processus historique. Cela ne peut qu'aider d'en tenir compte. Les applications, les retombées, ont souvent un caractère inattendu (d'où l'intérêt de ne pas tout axer sur cet objectif). J'aime prendre l'exemple des nombres complexes: qui aurait pu s'attendre à l'application à l'électricité d'un concept qu'on pouvait a priori considérer comme absurde ?
Apres tout dépend ce qu'on appelle "généraliser pour généraliser", étendre la théorie du corps de classe aux extensions non abéliennes, c'est une généralisation qui ne se fixe pas un problème précis, mais c'est une question tellement naturelle et fondamentale (et feconde!!), que je ne le classe bien évidement pas dans ce contexte.
Ce que je veux dire c'est que developper des généralités sur une composante connexe etrangère aux autres maths me semble d'un interet douteux.
A la base y a tjs un point de départ, et des retombées au moins potentielles.
Ca n'est pas mon impression.
Mais je ne sais pas tout ce qu'elle a fait.
Tu as un exemple en tête?
J'en cite un extrais.
On pourrait imaginer que peu de conclusions puissent être tirées d'objets définis à partir d'un nombre si restreint de propriétés, mais au contraire c'est là que réside l'apport de Noether : découvrir le maximum qui puisse être conclu à partir d'un ensemble donné de propriétés ou, réciproquement, identifier l'ensemble minimum, les propriétés essentielles responsables d'une observation particulière. Au contraire de la plupart des mathématiciens, elle ne produit pas des abstractions en généralisant à partir d'exemples connus, mais travaille directement dans l'abstraction. Comme le rappelle van der Waerden dans son hommage funèbre69 :
« La devise par laquelle Emmy Noether était guidée pour son travail pourrait être formulée ainsi : toutes les relations entre les nombres, les fonctions et les opérations deviennent transparentes, largement applicables et pleinement productives seulement lorsqu'elles ont été séparées des objets particuliers auxquelles elles s'appliquent et reformulées en tant que concepts universels. »
C'est la begriffliche Mathematik (les mathématiques purement conceptuelles) qui caractérise Noether. Ce style de mathématiques a été adopté par d'autres mathématiciens et, après sa mort, a refleuri sous d'autres formes, comme la théorie des catégories.
Nous, ça nous paraît super "concret" et "légitime" parce qu'on le mange tout cuit, avec toutes les applications qui en découlent à l'appui; mais à son époque, j'ai du mal à voir quelle motivation (autre que la généralisation et l'abstraction pure) auraient pu être la source de ce travail et de ce genre de recherches.
Les applications, les retombées, ont souvent un caractère inattendu (d'où l'intérêt de ne pas tout axer sur cet objectif). J'aime prendre l'exemple des nombres complexes: qui aurait pu s'attendre à l'application à l'électricité d'un concept qu'on pouvait a priori considérer comme absurde ?
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