Niveau Reprise d'études

relation binaire

Posté par
Bilalh 08-01-21 à 06:36

Bonjour,

On considère 2 ensembles ordonnés A et B. On note $\succeq$ leur relation d'ordre . Sur le produit A x B on définit une relation R en déclarant: "(a,b)R(c,d) si a $\succeq$ c et b $\succeq$ d".

1/ Démontrer qu'il s'agit bien d'une relation d'ordre.
2/ Est-ce que A x B est totalement ordonné si A et B le sont ?

Pas de problème pour la première question mais la deuxième je ne vois pas comment y répondre.
Merci d'avance !

Posté par re : relation binaire 08-01-21 à 07:22

Je crois que j'ai trouvé par un contre-exemple mais j'ai du mal à bien le formuler:

Je suppose que la relation $\succeq$ est définie par : x y,
il existe alors au moins deux couples (a,b) et (c,d) de A x B où a b en même temps que c d, du coup les deux couples ne sont pas comparables par la relation R et donc l'ensemble A x B n'est pas totalement ordonné.

Est-ce que je peux mieux le formuler ?

Posté par re : relation binaire 08-01-21 à 07:38

edit: "il existe alors au moins deux couples (a,b) et (c,d) de A x B où a c en même temps que b d"

Posté par re : relation binaire 08-01-21 à 10:14

Bonjour,

Oui, tu peux penser à $\R\times \R$ où chacun des facteurs $\R$ est muni de l'ordre standard.
On a $(a,b)\mathcal R (c,d)$ si et seulement si le point $(c,d)$ est dans le quadrant de coin inférieur gauche $(a,b)$ .