Niveau Reprise d'études

Relation d'équivalence

Posté par
Milka3 25-07-24 à 10:32

Bonjour,

je travaille sur l'exercice suivant :

Citation :
Soit $(K^*,\cdot)$ groupe de cardinal $c$ . Pour tout entier $d$ de l'ensemble $\mathcal{D}_c$ des diviseurs de $c$ , on note $N(d)$ le nombre d'éléments de $(K^*,\cdot)$ qui sont d'ordre $d$ . Déterminer la valeur de $\displaystyle\sum_{d\in\mathcal{D}_c}N(d)$ .

Je pense avoir compris la logique qui est d'écrire l'union disjointe $K^*=\dot\cup_{d\in\mathcal{D}_c} U(d)$ où $U(d)=\{x\in K^*\,,o(x)=d\}$ puis de passer cette égalité au cardinal.

J'essaye également de faire le lien avec les classes d'équivalence, mais je n'arrive pas à écrire correctement la relation d'équivalence qu'il y a derrière.

Est-ce que je fais fausse route ? Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance !

Posté par re : Relation d'équivalence 25-07-24 à 13:00

Soit f la fonction définie sur K* par $f(x) = \textrm{card}\langle x\rangle$ .
Que penses-tu de la relation $x\mathcal{R}y \iff f(x) = f(y)$ ?

Posté par re : Relation d'équivalence 26-07-24 à 10:26

Bonjour !
Merci pour la réponse !
$\mathcal{R}$ est clairement une relation d'équivalence.

D'après le cours, on peut écrire $E=\bigcup_{x\in E}Cl(x)=\dot\bigcup_{x\in R}Cl(x)$ où $R$ est un système de représentant des classes d'équivalence de $\mathcal{R}$ .

Par le théorème de Lagrange, je sais que l'ordre de tout élément de $K^*$ divise le cardinal c du groupe. Donc je dirais que $R=\mathcal{D}_c$ est un système de représentants.

Pour cette relation d'équivalence, on a :
$Cl(m)=\{n\in K^*\,,n\mathcal{R}m\}$
$Cl(m)=\{n\in K^*\,,f(n)=f(m)\}$
$Cl(m)=\{n\in K^*\,,o(n)=o(m)\}$
Ce qui n'est pas tout à fait l'ensemble $U(d)$ évoqué dans mon premier message !

Je bloque à ce niveau là !
Pouvez-vous m'aider ?

Posté par re : Relation d'équivalence 26-07-24 à 13:08

Pourquoi ce n'est pas le même ensemble ?
U(d) est l'ensemble des éléments d'ordre d, Si tu prends m un élément d'ordre d, alors Cl(m) est d'après ta dernière égalité, l'ensemble des élements d'ordre o(m) = d, c'est-à-dire U(d).
Si m' est un autre élément d'ordre d, il est en relation avec m donc Cl(m') = Cl(m) = U(d). La classe ne dépend pas du représentant, mais seulement de d.
Donc la réunion est effectivement à prendre sur les $d\in D_c$ . Tout ce qu'il y aurait éventuellement à montrer, c'est qu'aucun U(d) n'est vide, c'est à dire encore que pour tout diviseur d de c, il existe un sous-groupe (monogène) d'ordre d de K*

Posté par re : Relation d'équivalence 27-07-24 à 10:06

Bonjour !
Merci pour cette réponse !

Je considère $m\in K^*$ . Alors par le théorème de Lagrange, $d:=o(m)\in\mathcal{D}_c$ .

Pour la relation d'équivalence introduite plus haut, on peut écrire que $\displaystyle K^*=\dot\bigcup_{m\in R}Cl(m)$ où $R$ est un système de représentants.

Je montre alors que $\dot\bigcup_{m\in R}Cl(m)=\dot\bigcup_{d\in\mathcal{D}_c}U(d)$ par double inclusion.

Soit $n\in\dot\bigcup_{m\in R}Cl(m)$ . Alors il existe un unique $m\in R$ tel que $n\mathcal{R}m$ et donc $o(n)=o(m)=d\in\mathcal{D}_c$ , d'où $n\in\bigcup_{d\in\mathcal{D}_c}U(d)$ . Et là, je bloque pour passer à $n\in\dot\bigcup_{d\in\mathcal{D}_c}U(d)$ .

Soit $n\in\dot\bigcup_{d\in\mathcal{D}_c}U(d)$ . Alors il existe un unique $d\in\mathcal{D}_c$ tel que $o(n)=d=o(m)$ , donc $n\mathcal{R}m$ . D'où $n\in\bigcup_{m\in K^*}Cl(m)$ .

Je bloque pour finaliser la démonstration par double inclusion !

Posté par re : Relation d'équivalence 27-07-24 à 12:01

C'est incorrect, il y a des $d\in D_c$ qui apparaissent et des m qui sont tantôt fixés et tantôt variables.
Il n'ya rien d'autre en réalité à faire que de dire que $Cl(m) = U(o(m))$ , pour tout $m\in K^\ast$ .
Donc $\bigsqcup\limits_{m\in\matcal{R}}Cl(m) = \bigsqcup\limits_{m\in\matcal{R}} U(o(m))$ .

Deux éléments distincts de $\matcal{R}$ ne peuvent pas avoir le même ordre, sinon ils sont en relation, et donc appartiennent à la même classe.
Autrement dit, $o : \matcal{R} \to D_c$ est une injection et on veut montrer que c'est aussi une surjection, ou encore, que pour tout $d\in D_c$ , il existe un $m\in R$ tel que $d = o(m)$

Posté par re : Relation d'équivalence 28-07-24 à 11:16

Bonjour,
je crois que je comprends mieux, merci ! Si je reprends l'intégralité :

On note $\mathcal{R}$ la relation d'équivalence sur $K^*$ définie comme précédemment.

Soit $m\in K^*$ un élément d'ordre $d$ . Alors $Cl(m)=U(d)$ et donc $K^*=\bigsqcup\limits_{m\in\matcal{R}}Cl(m) = \bigsqcup\limits_{m\in\matcal{R}} U(d)$ où R est un système de représentant des classes d'équivalence de $\mathcal{R}$ .

En passant cette égalité au cardinal, on obtient $\displaystyle c=\sum_{d\in\mathcal{D}_c}N(d)$ .

Est-ce bien cela ?
Est-on sur qu'il existe un élément d'ordre $d$ dans $K^*$ ?

Posté par re : Relation d'équivalence 28-07-24 à 11:32

Un groupe fini n'est pas forcément cyclique (ou monogène), même s'il est abélien. Exemple : Z/2Z x Z/2Z.
Mais dans le cas du groupe des inversibles d'un corps, c'est le cas.

1) Montrer que K* est un groupe cyclique (et monogène). Il existe donc un élement x non d'ordre |K*|

2) Soit d un diviseur (strict) de |K*|. Comment construire un élément d'ordre d à partir de x ?