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Relation entre la fonction gamma et pi

Posté par
Meiosis
08-04-24 à 18:51

Bonsoir,

Je vous soumets une formule reliant la fonction Gamma à la constante pi, que j'ai trouvée intéressante et qui n'existe pas, aux dernières nouvelles dans la littérature.

---
\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{(\frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!})^2*\frac{\pi}{2}}{n}=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{2\sqrt{2\pi}}-\frac{2\sqrt(2)*\pi^{\frac{3}{2}}}{\Gamma(\frac{1}{4})^2}

Peut-on la démontrer facilement ?
J'ai fait des recherches mais une telle formule n'existe pas, je ne sais pas par quel bout prendre la formule pour éventuellement la démontrer si c'est possible.

Je vous remercie par avance.

Posté par
lionel52
re : Relation entre la fonction gamma et pi 09-04-24 à 09:29

Que signifie (2n-3)!! quand n = 1 ?

Posté par
lionel52
re : Relation entre la fonction gamma et pi 09-04-24 à 09:33

Et ça veut dire quoi? Tu as inventé cette formule? Où tu l'as trouvée?

Posté par
Meiosis
re : Relation entre la fonction gamma et pi 09-04-24 à 14:21

Je l'avais inventée mais finalement elle est fausse (j'ai eu la réponse via un programme C++).

Donc sujet résolu (et merci pour tes réponses).

Posté par
lionel52
re : Relation entre la fonction gamma et pi 09-04-24 à 14:56

Non elle semble vraie, C++ a une limite dans les calculs décimaux

Posté par
Meiosis
re : Relation entre la fonction gamma et pi 09-04-24 à 15:33

Ah d'accord, je suis content de l'apprendre.

Comment tu sais qu'elle est vraie ?

Posté par
Meiosis
re : Relation entre la fonction gamma et pi 09-04-24 à 16:16

lionel52 @ 09-04-2024 à 09:29

Que signifie (2n-3)!! quand n = 1 ?


Le calcul donne (-1)!!, ce qui équivaut à 1 d'après wolframalpha.

Posté par
lionel52
re : Relation entre la fonction gamma et pi 09-04-24 à 16:30

Wolfram me dit que les 2 quantités sont exactes
Mais je comprends pas comment tu tombes au hasard sur cette formule si tu ne l'as vu nulle part et que tu ne sais pas la démontrer

Posté par
Meiosis
re : Relation entre la fonction gamma et pi 09-04-24 à 16:34

C'est de l'intuition, bien entendu que je ne suis pas tombé dessus par hasard mais à force d'étudier la théorie des nombres en autodidacte (depuis 2019) parfois j'arrive à de petits résultats.

Posté par
jandri Correcteur
re : Relation entre la fonction gamma et pi 09-04-24 à 18:17

Bonjour,

si on demande à wolframalpha de calculer la somme de la série du premier membre il fournit instantanément le second membre.

Il reconnait une fonction hypergéométrique dont la valeur s'exprime avec les fonctions K et E : 4K(-1) - E(-1)

Posté par
Meiosis
re : Relation entre la fonction gamma et pi 09-04-24 à 18:26

D'accord.

Et cette formule : est-elle simple à démontrer ?



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