relations binaires

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relations binaires
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Bilalh  07-01-21 à 08:12
Bonjour, 

J'ai dû mal avec certains exercices des relations binaires car c'est vraiment abstrait pour moi, j'en poste un : 

On associe à une relation de préordre R (réflexive et transitive) la relation  dont le graphe est formé des couples (x,y) vérifiant à la fois xRy et yRx.

Démontrer que  et une relation d'équivalence. On note B= A/ l'ensemble des classes d'équivalence de . Que peut-on dire de  si R est une relation d'équivalence ? 

Déjà, que veut dire associer une relation à une autre : "On associe à une relation de préordre R (réflexive et transitive) la relation "  ?

Pour démontrer que  est une relation d'équivalence, on sait que R est réflexive et transitive donc j'imagine que  partage déjà ces deux propriétés, ensuite  est formé des couples (x,y) vérifiant à la fois xRy et yRx donc elle aussi symétrique, elle est bien une relation d'équivalence.

Pour la deuxième question, je ne vois pas quoi faire, tout ce que je peux dire est que si R est une relation d'équivalence tout comme   alors ces deux relations forment une partition (totale ?) de l'ensemble A. 

Merci d'avance ! 
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LeHiboure : relations binaires  07-01-21 à 09:36
Bonjour,

Une relation d'équivalence est réflexive, transitive et symétrique.

Une relation de préordre est "seulement" réflexive et transitive.

La condition  "couples (x,y) vérifiant à la fois xRy et yRx" ajoute la symétrie.

 est donc réflexive, transitive et symétrique : c'est bien une relation d'équivalence.
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LeHiboure : relations binaires  07-01-21 à 09:40
Et si R est déjà une relation d'équivalence, alors tous les couples (x,y) vérifient à la fois xRy et yRx et  = R.
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GBZMre : relations binaires  07-01-21 à 10:13
Bonjour,

Attention,  n'est pas . Ce n'est pas parce que  est réflexive et transitive que  l'est automatiquement. Ça demande une (petite) démonstration.
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Bilalhre : relations binaires  07-01-21 à 10:31
Ok merci pour vos réponses , je comprends mieux mais du coup comment je démontre que  est réflexive et transitive ? 
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GBZMre : relations binaires  07-01-21 à 10:33
Ben en utilisant la définition de  et les propriétés de . Que pourrait-on faire d'autre ?
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Bilalhre : relations binaires  07-01-21 à 11:03
Je ne sais pas si ça marche mais je ferais ceci: 

Pour tout élément x de A,  je sais par la relation R que x R x car R est réflexive. La relation  est symétrique donc par symétrie j'ai  xRx qui devient  xRx, j'observe que la symétrie conserve la réflexivité.

Pour tout élément x de A, je sais par la relation R que si xRy et que yRz alors xRz car R est transitive. La relation  est symétrique donc par symétrie xRy donne yRx, yRz donne zRy et xRz donne zRx , j'observe que la symétrie conserve la transitivité. La relation  est bien réflexive et transitive.
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GBZMre : relations binaires  07-01-21 à 11:42
À montrer :  réflexive.

Soit . Puisque  est réflexive, on a  et donc  (qui est par définition .

À montrer :  transitive.

On suppose  et . Ceci veut dire que  et que . Puisque   et que  est transitive, . Puisque   et que  est transitive, .  Par définition de , .
  Posté par 
Bilalhre : relations binaires  07-01-21 à 12:54
Oui c'est mieux écrit ! merci