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Relations entre coefficients et racines d'un polynôme

Posté par
manu_du_40 18-03-21 à 20:59

Bonsoir à tous,

je suis en train de préparer une leçon d'oral d'agrégation interne de mathématiques.
Elle s'intitule "racines d'un polynôme à une indéterminée. Relation coefficients-racines".

Je n'ai pas eu de problème pour construire un plan mais j'ai une petite hésitation sur mon choix de développement.
Je précise qu'il s'agit de ma première tentative à l'agrégation interne donc, vu que je n'ai pas un gros niveau ni une grande expérience du concours, je n'ai pas envie de partir sur des choses trop relevées.

Par conséquent, j'ai a priori sélectionné deux développements que je pense pouvoir maîtriser :
- Théorème de Joachimsthal.
- Théorème de d'Alembert-Gauss.

Cependant, pour ce dernier, la démonstration que je connais est essentiellement analytique (théorème de la borne inférieure sur un compact et on montre par l'absurde que le point où la borne inférieure est atteinte est une racine du polynôme). Du coup, je me demande s'il peut m'être reproché de faire un développement analytique dans une leçon d'algèbre.

Je reste ouvert à d'autres propositions de développements si vous avez des idées.

J'en profite pour remercier vivement les membres de l' qui m'ont bien aidé cette année et ont certainement contribué à l'obtention de ma 1ère admissibilité. Je pense en particulier à GBZM, mokassin, bonimni, carpediem, jeanseb, etniopal... et j'en oublie sûrement beaucoup. Et bravo aussi aux modérateurs et correcteurs pour votre travail quotidien sur le forum.

Manu

Posté par
carpediemre : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 18-03-21 à 21:16

salut

au contraire il est toujours intéressant de mêler plusieurs branches des mathématiques ... et de montrer ainsi comment un problème du domaine X peut se résoudre grâce aux outils d'un domaine Y ...

ainsi tout polynome de degré impair admet au moins une racine réelle se démontre essentiellement par le TVI ...

peut-être deux idées mais je ne sais si elles rentrent dans le cadre de cette leçon :
a/ les racines complexes d'un polynome à coefficients réels sont conjuguées
b/ les polynomes symétriques : les coefficients vérifient a_{n - i} = a_i
c/ enfin le pense que le classique x^n - 1 : racine complexe de l'unité peut/doit apparaitre ...

à voir ...

je ne connais pas le théorème de Joachimsthal ... quel est-il ?

Posté par
carpediemre : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 18-03-21 à 21:18

et aussi peut-être sans oublier les racines multiples ... que j'allais oubliées !!!

Posté par
LeHiboure : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 18-03-21 à 21:32

Bonsoir,

Citation :
Théorème de d'Alembert-Gauss.

Cependant, pour ce dernier, la démonstration que je connais est essentiellement analytique

Tu sais bien sûr qu'il n'existe pas de démonstration purement algébrique de ce théorème, elles comportent toutes une composante plus au moins forte d'analyse.

Pour la petite histoire, en 1970 j'avais eu JM Arnaudiès comme prof de maths en Maths Spé. A l'époque, un prof avait sorti un cours d'Algèbre dans le collection Que Sais-je, et se vantait d'avoir donné une solution purement algébrique du théorème. JM Arnaudiès l'avait regardée à la loupe, avait trouvé une erreur qui l'invalidait, et nous l'avait raconté en cours, pas peu fier  

Posté par
manu_du_40re : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 18-03-21 à 21:39

Salut carpediem,

il y a tellement de choses à dire sur les polynômes qu'il faut faire des choix...
la défense du plan dure 15 minutes et le développement aussi.

Je pense que ton idée a/ est un peu légère pour tenir 15 minutes car la preuve tient en quelques lignes de calcul seulement.

J'essaierai de creuser b/ et c/, j'avoue que l'idée c/ me plaît bien car je peux partir sur l'algèbre des groupes.

Théorème de Joachimstahl :

Soit (E) une ellipse de représentation paramétrique :
\left\lbrace\begin{matrix} x(t)=a \cos(t)\\ y(t) = b \sin(t) \end{matrix}\right , t \in \mathbb{R}, \text{ où } a,b \in \mathbb{R}_+^*.

Soient M_1 ; M_2 ; M_3 et M_4 quatre points distincts de (E) de paramètres respectifs t_1, t_2, t_3 et t_4.

Alors M_1 ; M_2 ; M_3 et M_4 sont cocycliques si et seulement si t_1+t_2+t_3+t_4 \in 2\pi \mathbb{Z}.


Merci pour ta réponse

Posté par
manu_du_40re : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 18-03-21 à 21:46

Bonsoir LeHibou,

Citation :
Tu sais bien sûr qu'il n'existe pas de démonstration purement algébrique de ce théorème, elles comportent toutes une composante plus au moins forte d'analyse.
.

Certes mais à l'agrégation interne, il y a deux épreuves orales (une de leçon et une d'exemples et exercices sur un thème donné). Si on tombe sur de l'algèbre à l'épreuve 1, on aura forcément de l'analyse à l'épreuve 2 (et vice-versa). C'est pourquoi je me demandais si ce développement a réellement sa place dans une leçon d'algèbre.

Posté par
jeansebre : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 19-03-21 à 12:18

Bonjour

à Manu:

- Ravi de t'avoir aidé, lors de mes rares interventions sur le site!

- A mon avis (j'ai eu l'interne il y a quatorze ans, en utilisant à l'oral plusieurs exos trouvés sur l'Ile), d'Alembert n'est pas trop dans la ligne du sujet: le mot "racines" est deux fois au pluriel, et la deuxième phrase oriente plutôt vers les propriétés des racines en tant qu'ensemble.

- Je  proposerais "le problème de Bâle", qui est le sujet d'un autre topic "calcul de somme": \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{p^2}. . Voir si tu peux tout faire en 15 minutes. Cela, entre autres, utilise le point c) proposé par carpediem.



à Le Hibou

- Arnaudiès (que j'ai connu de loin : j'ai fait Spé M) est un fanatique de la démonstration, et pas qu'en maths: dans le procès de l'usine AZF de Toulouse où il est parti après Strasbourg, il a fait un gros mémoire intitulé "Certitudes sur la catastrophe", plein de démonstrations:

- Etudiant maintenant la théologie, j'ai écrit à l'auteur du "Que sais-je?" sur Jerusalem pour lui dire qu'il y avait une monumentale erreur dans son livre, monumentale car elle concerne l'origine de l'ensemble du judaïsme actuel et parce que l'information correcte se trouve dans le cours de 1ère année de fac. Il m'a répondu, un peu catastrophé, qu'effectivement il y avait une erreur, et qu'elle allait être corrigée dans l'édition suivante. Mais pas un mot de remerciement...

Posté par
manu_du_40re : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 19-03-21 à 15:06

Bonjour à tous les répondants :
Une autre idée m'est venue. Les polynômes d interpolation de Lagrange.
Qu'en pensez vous ? C'est peut être un peu élémentaire mais ça rentre pas trop mal dans le sujet non ?

Posté par
jeansebre : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 19-03-21 à 16:52

Il me semble que ce n'est pas un développement de ce que tu as exposé dans le cours qui précède: ce n'est ni une application des différents théorèmes "au tableau" ni la démonstration de l'un d'entre eux. La leçon est massivement: on a un polynôme, que dire de ses racines. Avec Lagrange, c'est dans l'autre sens, et comme on a les racines au départ, c'est beaucoup plus facile et donc moins valorisant pour toi. Du coup,le lien avec la partie "cours" est mince. Or je crois avoir compris que ce que veut le jury, c'est un développement qui répond à "à quoi sert le cours?" ou bien à "d'où viennent les résultats du cours?".

Je  mettrais uniquement un exo sur Lagrange dans l'oral d'exercices, pour montrer que tu as ça dans ta panoplie.

Posté par
manu_du_40re : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 19-03-21 à 17:00

D'accord jeanseb.
Merci pour tes précieux conseils. Je vais creuser l'idée du problème de Bâle mais je ne trouve pas le topic dont tu parles car le moteur de recherche de l'île ne fonctionne pas.

J'ai bien trouvé ce pdf : . Je vais regarder la partie II et voir si je trouve ce développement dans la littérature standard.

Merci encore

Manu

Posté par
malou Webmasterre : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 19-03-21 à 17:09

Bonjour à tous
je découvre ce fil et son contenu
Bravo manu_du_40 et plein de courage pour la suite !

Posté par
jeansebre : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 19-03-21 à 17:16

C'est drôle, dans le pdf il n'y a pas la question 5,5 : calculer \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}.

Je crois que ça faisait partie d'un écrit de capes externe de 2008.

A vue de nez, ça parait un peu long pour conclure en 1/4 d'heure.

Posté par
malou Webmasterre : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 19-03-21 à 17:22

manu_du_40 @ 19-03-2021 à 17:00

D'accord jeanseb.
Merci pour tes précieux conseils. Je vais creuser l'idée du problème de Bâle mais je ne trouve pas le topic dont tu parles car le moteur de recherche de l'île ne fonctionne pas.

Manu


tape dans un moteur de recherche "ilemaths.net et ce que tu veux derrière"
car le dernier moteur de recherche de l'île n'était rien d'autre que "g**gle"

Posté par
jeansebre : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 19-03-21 à 17:24

Bien sûr: calculer%20\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.

Posté par
jeansebre : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 19-03-21 à 17:32

Et c'est le Capes 2007 où la question est traitée. Sujet et corrigé:

Posté par
manu_du_40re : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 19-03-21 à 17:41

Merci à toi surtout malou pour les heures passées à entretenir ce forum

jeanseb : dans le livre de Xavier GOURDON intitulé "Algèbre" , il y a un exo qui propose le calcul de T_n=\sum_1^p cot^2\left \dfrac{k\pi}{2p+1} \right). Il ne manque que l'inégalité de la question 2 du pdf pour conclure.

Donc c'est cool car ton idée est exploitable le jour J. Je pense donc que je vais préparer ce développement. D'autant qu'il doit être tout à fait recasable dans d'autres leçons.

Merci beaucoup, ton idée est géniale et tout à fait accessible.

Manu

Posté par
manu_du_40re : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 19-03-21 à 17:42

Oups, je corrige mon latex (j'ai oublié de faire aperçu):
T_n=\sum_{k=1}^n cot^2\left (\dfrac{k\pi}{2n+1} \right)

Posté par
jeansebre : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 19-03-21 à 20:19



manu_du_40 @ 19-03-2021 à 17:41

D'autant qu'il doit être tout à fait recasable dans d'autres leçons.


Le polycop de tout-à l'heure dit:
-convergence des suites reels croissantes majorees ;
-convergence des suites reels adjacentes ;
-fonctions trigonometriques ;
-racines complexes de l'unite ;
-relations entre les coefficients et les racines d'un polynome complexe

Sinon j'ai un développement "botte secrète" que je t'enverrai dès que j'aurai ton adresse mail. Envoie moi un mp si on est connectés en même temps.

Posté par
carpediemre : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 20-03-21 à 09:20

le topic calcul de somme dont parlait jeanseb ... peut-être ...

Posté par
manu_du_40re : Relations entre coefficients et racines d'un polynôme 20-03-21 à 10:15

Merci pour le lien carpediem.
Une preuve plus courte que celle du polycopié précédemment citée et qui doit être faisable en 15 min(trouvée dans le livre CapPrépa Mathématiques MP/MP* des éditions Pearson).

Soit \theta \in \left]0;\dfrac{\pi}{2} \right[ et m \in \mathbb{N} :

\sin[(2m+1)\theta]=Im[(\cos(\theta)+i\sin(\theta)^{2m+1})]
=Im[\sum_{k=0}^{2m+1}\binom{2m+1}{k}i^k\sin^k(\theta)\cos^{2m+1-k}(\theta)]
=\sum_{k=0}^{m}\binom{2m+1}{2k+1}(-1)^k\sin^{2k+1}(\theta)\cos^{2m-2k}(\theta)
=\sin^{2m+1}(\theta)\sum_{k=0}^{m}\binom{2m+1}{2k+1}(-1)^k\sin^{2k-2m}(\theta)\cos^{2m-2k}(\theta)
=\sin^{2m+1}(\theta)P_m (cot^2(\theta))
où P_m(X)=\sum_{k=0}^{m}(-1)^k\binom{2m+1}{2k+1}X^{m-k}

Or \sin[(2m+1)\theta]=0 \Longleftrightarrow \theta=\dfrac{k\pi}{2m+1}

\forall \theta \in \left]0;\dfrac{\pi}{2} \right[, \sin^{2m+1}(\theta) \neq 0 donc
\sin[(2m+1)\theta]=0 \Longleftrightarrow P_m(cot^2(\theta))=0

Ainsi, \forall k \in [|1;m|], cot^2\left(\dfrac{k\pi}{2m+1}\right) est une racine de P_m .  La fonction cotan^2 étant injective sur  \left]0;\dfrac{\pi}{2}, les  cot^2\left(\dfrac{k\pi}{2m+1}\right) sont tous distincts et comme deg(P_m)=m, on a toutes ses racines.


D'après les relations coefficients-racines :

\sum_{k=1}^m cot^2\left(\dfrac{k\pi}{2m+1}\right)=-\dfrac{-\dfrac{(2m+1)2m(2m-1)}{6}}{2m+1}=\dfrac{m(2m-1)}{3}.

On conclut en utilisant l'encadrement

\forall \theta \in \left]0;\dfrac{\pi}{2} \right[, cot^2(\theta) <\dfrac{1}{\theta^2}<1+cot^2(\theta) et avec le théorème des gendarmes.

Merci à vous tous


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