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Niveau seconde
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Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle

Posté par
Doro62
04-10-20 à 10:52

Bonjour Pouvez vous me corrigez svp merci
a, b, c designent des nombres reels positifs
On considere un triangle ABC tels que AB =c, AC =b, BC =a
On note S l aire du triangle ABC 1er cas 0 °<B^AC<90.°
On note H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB)
Montrez que S =1/2bc sin(B^AC)

S= aire du triangle ABC
On appelle H le pied de la hauteur issue de C alors dans le triangle CHA rectangle en H
sinB^AC=ch/ac
De ceci on deduit que la hauteur CH vaut CH=ACxsinB^AC
Donc l aire du triangle ABC vaut
S=bx sin(B^AC) xc=1/2bc sin (B^AC)

Posté par
Doro62
re : Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle 04-10-20 à 11:21

S=bxsin(B^AC) xc/2=1/2bc sin(B^AC)
La derniere reponse j avais oublié diviser pas 2

Posté par
hekla
re : Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle 04-10-20 à 11:35

Bonjour

Il faudrait faire une figure

Aire d'un triangle  \dfrac{1}{2} base par hauteur correspondante

donc \mathcal{A}=\dfrac{AB\times CH}{2}

Calculons CH
Dans le triangle ACH rectangle en H puisqu'il est le projeté orthogonal de C sur [AB] on a donc \sin \widehat{BAC}=\dfrac{CH}{BC} d'où CH=b\sin \widehat{BAC}

En reportant on a \mathcal{A}=\dfrac{cb \sin\widehat{BAC}}{2}

C'est donc correct

Posté par
hekla
re : Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle 04-10-20 à 11:37

Remarque  quand deux verbes se suivent le second est à l'infinitif

donc corriger (er)

Posté par
Doro62
re : Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle 04-10-20 à 11:54

Ok merci la figure je l ai reproduite
Le 2eme cas maintenant
B^AC=90°  une figure differente
Montrer que S=1/2bc sin(B^AC)
On admet que si 90°<B^AC<180.
On a S=1/2bc sin(B^AC)

On appelle H le pied de la hauteur issue de A alors le triangle BHA rectangle enH
sin(B^AC) =ah/ab
De ceci on deduit que la hauteur AH vaut
AH=ABxsin(B^AC)
Donc l aire S du triangle ABC vaut
S=bxsin(B^AC) xc/2
Merci de me corriger

Posté par
hekla
re : Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle 04-10-20 à 12:50


Si \widehat{BAC}=90 alors H=A

\mathcal{A}=\dfrac{cb}{2}  ou =\dfrac{cb\sin \widehat{BAC}}{2}

car \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1

Cas obtus

Des erreurs sur AH  votre figure  Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle

 \dfrac{AH}{AB}=\sin  \widehat{ABH} d'où AH=ca\sin  \widehat{ABH}


Si \widehat{BAC} est obtus   calculons CH   dans le triangle rectangle CAH

on a \sin \widehat{CAH}=\dfrac{CH}{CA} soit CH=CA\sin \widehat{CAH}

Les points B, A, H étant alignés  \widehat{BAH}=\pi or \widehat{BAH}= \widehat{BAC}+ \widehat{CAH}

\sin   \left(\pi-\widehat{BAC}\right)= \sin  \widehat{BAC } donc

\mathcal{A}=\dfrac{cb\sin  \widehat{BAC}}{2}

ma figure Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle

Posté par
Doro62
re : Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle 04-10-20 à 13:00

Merci pour vos explications pouvez vous m expliquez pourquoi on met pi svp

Posté par
Doro62
re : Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle 04-10-20 à 13:06

La figure que le prof a donné c un triangle rectangle en A

Posté par
hekla
re : Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle 04-10-20 à 13:14

La mesure d'un angle plat est 180 degrés ou \pi  radians

Posté par
Doro62
re : Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle 04-10-20 à 14:32

Ecrire deux autres relations similaire
Soit H la hauteur issue de A
Dans le triangle AHC rectangle en H sin (A^CB) =AH/AC
AH=ACxsin(A^CB) =bxsin(A^CB)

S=AHxbc/2=bxsin(A^CB)xa/2=1/2absin(A^CB)
On note H la hauteur issue de C
Dans le triangle CHBrectangle en H on a sin(A^BC) =CH/CB
CH=CBxsin  (A^BC) =axsin(A^BC)
Pouvez vous me dire si c bon merci

Posté par
hekla
re : Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle 04-10-20 à 15:01

H n'est pas la hauteur mais un projeté orthogonal et on veut encore l'aire du triangle

Si on projette A sur (BC) on a

\sin \widehat{ABC}=\dfrac{AH}{AB} soit AH= c\sin {\widehat{ABC}


\mathcal{A}=\dfrac{ac\sin \widehat{ABC}}{2}


on a aussi

\sin \widehat{BCA}=\dfrac{AH}{AC} soit AH= b\sin{\widehat{BCA}

\mathcal{A}=\dfrac{ab\sin \widehat{BCA}}{2}

On peut aussi prendre H le projeté orthogonal de B sur (AC)

Posté par
Doro62
re : Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle 04-10-20 à 15:18

A ok merci beaucoup de m aider
Je comprends pas la suite

En deduire la loi des sinus ci dessous
Sin(B^AC) /a=sin(A^BC) /b=sin(A^CB) /c=2S/abc

Posté par
hekla
re : Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle 04-10-20 à 15:28

\mathcal{A}=\dfrac{cb \sin\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{ac\sin \widehat{ABC}}{2}=\dfrac{ab \sin\widehat{BCA}}{2}

d'où en multipliant par 2

2\mathcal{A}=cb\sin\widehat{BAC}=ac\sin\widehat{ABC}=ab\sin\widehat{BCA}

et en divisant par   \dots  on obtient le résultat

Posté par
Doro62
re : Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle 04-10-20 à 15:54

Donc en utilisant sin (B^AC) =2a/cs sin(A^CB)
a/sin(B^AC) =axc/ax2/sin(A^CB) =c/sin(A^CB)
En utilisant b sin(A^CB) =csin(A^BC)
sin(A^CB) =2c/bsin(A^BC)
a/sin(A^CB) =cxb/cx2/sin (A^BC) =b/sin(A^BC) on en deduit donc que sin(B^AC) /a=sin(A^BC) /b=sin(A^CB) /c=2S/abc

Posté par
hekla
re : Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle 04-10-20 à 16:01

Que faites-vous  ?  Vous n'aviez qu'à diviser les égalités par abc

\dfrac{2\mathcal{A}}{abc}=\dfrac{cb\sin\widehat{BAC}}{abc}=\dfrac{ac\sin\widehat{ABC}}{abc}=\dfrac{ab\sin\widehat{BCA}}{abc}

et à simplifier

Posté par
Doro62
re : Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle 04-10-20 à 16:30

Je comprends pas trop comment simplifier
2cbsin(B^AC)=2acsin(A^BC)=2abssin(B^CA)
Comment cela je simplifie

Posté par
hekla
re : Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle 04-10-20 à 16:44

\dfrac{ab}{abc}=\dfrac{1}{c}

\dfrac{2\mathcal{A}}{abc}=\dfrac{\cancel{cb}\sin\widehat{BAC}}{a\cancel{bc}}=\dfrac{\cancel{ac}\sin\widehat{ABC}}{\cancel{a}b\cancel{c}}=\dfrac{\cancel{ab}\sin\widehat{BCA}}{\cancel{ab}c}



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