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Relier l aire d un triangle et le sinus d un angle
Bonjour Pouvez vous me corrigez svp merci
a, b, c designent des nombres reels positifs
On considere un triangle ABC tels que AB =c, AC =b, BC =a
On note S l aire du triangle ABC 1er cas 0 °<B^AC<90.°
On note H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB)
Montrez que S =1/2bc sin(B^AC)
S= aire du triangle ABC
On appelle H le pied de la hauteur issue de C alors dans le triangle CHA rectangle en H
sinB^AC=ch/ac
De ceci on deduit que la hauteur CH vaut CH=ACxsinB^AC
Donc l aire du triangle ABC vaut
S=bx sin(B^AC) xc=1/2bc sin (B^AC)
Bonjour
Il faudrait faire une figure
Aire d'un triangle base par hauteur correspondante
donc
Calculons CH
Dans le triangle ACH rectangle en H puisqu'il est le projeté orthogonal de C sur [AB] on a donc d'où
En reportant on a
C'est donc correct
Ok merci la figure je l ai reproduite
Le 2eme cas maintenant
B^AC=90° une figure differente
Montrer que S=1/2bc sin(B^AC)
On admet que si 90°<B^AC<180.
On a S=1/2bc sin(B^AC)
On appelle H le pied de la hauteur issue de A alors le triangle BHA rectangle enH
sin(B^AC) =ah/ab
De ceci on deduit que la hauteur AH vaut
AH=ABxsin(B^AC)
Donc l aire S du triangle ABC vaut
S=bxsin(B^AC) xc/2
Merci de me corriger
Si alors H=A
ou
car
Cas obtus
Des erreurs sur AH votre figure 
d'où
Si est obtus calculons CH dans le triangle rectangle CAH
on a soit
Les points B, A, H étant alignés or
donc
ma figure 
Ecrire deux autres relations similaire
Soit H la hauteur issue de A
Dans le triangle AHC rectangle en H sin (A^CB) =AH/AC
AH=ACxsin(A^CB) =bxsin(A^CB)
S=AHxbc/2=bxsin(A^CB)xa/2=1/2absin(A^CB)
On note H la hauteur issue de C
Dans le triangle CHBrectangle en H on a sin(A^BC) =CH/CB
CH=CBxsin (A^BC) =axsin(A^BC)
Pouvez vous me dire si c bon merci
H n'est pas la hauteur mais un projeté orthogonal et on veut encore l'aire du triangle
Si on projette A sur (BC) on a
soit
on a aussi
soit
On peut aussi prendre H le projeté orthogonal de B sur (AC)
A ok merci beaucoup de m aider
Je comprends pas la suite
En deduire la loi des sinus ci dessous
Sin(B^AC) /a=sin(A^BC) /b=sin(A^CB) /c=2S/abc
Donc en utilisant sin (B^AC) =2a/cs sin(A^CB)
a/sin(B^AC) =axc/ax2/sin(A^CB) =c/sin(A^CB)
En utilisant b sin(A^CB) =csin(A^BC)
sin(A^CB) =2c/bsin(A^BC)
a/sin(A^CB) =cxb/cx2/sin (A^BC) =b/sin(A^BC) on en deduit donc que sin(B^AC) /a=sin(A^BC) /b=sin(A^CB) /c=2S/abc
Je comprends pas trop comment simplifier
2cbsin(B^AC)=2acsin(A^BC)=2abssin(B^CA)
Comment cela je simplifie
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