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Représentation paramétrique
Bonsoir,
Je bloque actuellement sur un exercice sur les représentations paramétriques, le voici.
Dans un repère (O, i, j, k), on note la droite d1 passant par les points de coordonnées A(1; -2; -1) et B (3; -5; -2).
1) Démontrer qu'une représentation paramétrique de d1 est semblable à
x = 1 + 2t
y = -2 - 3t
z = -1 - t
2) d2 est la droite de représentation paramétrique
x = 2 - s
y = -1 + 2s
z = -s
Démontrer que d1 et d2 ne sont pas coplanaires
Jusqu'ici j'ai réussi à répondre aux questions
À partir d'ici, je n'arrive pas à avancer..
3) On considère un plan P passant par le point C de coordonnées (0; -3; 0) dirigé par les vecteurs r(1; -4; 0) et m(0; -5, 1)
a. Démontrer que le plan P contient d1
b. Démontrer que le plan P et d2 se coupent en un point D dont on cherchera les coordonnées.
J'ai tenté de faire une équation cartésienne mais je m'y prends mal, je ne sais pas par où commencer
Merci d'avance pour vos aides, j'y répondrais le plus rapidement possible, portez-vous bien.
Bonjour
oui, tu peux chercher un système paramétré de P, en déduire une équation cartésienne assez facilement si tu veux
d1 est dans P dès que deux points de d1 sont dans P
Donc je cherche l'équation cartésienne de P
ax + by + cz + d = 0
Comme u (1; -4; 0) et v (0; -3; 0)
ax + by + cz + d = 0
<=> 1x - 4y + 0z + d = 0
<=> 1xc - 4yc + 0zc + d = 0
<=> 1x0 - 4x(-3) + 0x0 + d = 0
<=> 12 + d = 0 --> d = -12
Alors (P) : -4y + 12 = 0 ?
non, tu t'y prends effectivement mal
tu confonds plan (de vecteurs) et plan (de points)
soit M(x;y;z) un point quelconque de ce plan
il suffit d'écrire que avec a et b réels
tu passes aux coordonnées
tu exprimes a et b en fonction de x, y et z
et tu vas trouver ton équation de plan facilement
Si j'ai bien compris je dois faire donc comme vous avez évoqué, CM = 
+ 
(en remplaçant par les vecteurs de l'exercice)
M 
P
CM ( a-0 ; b+3 ; c-0) = x + y
CM (a ; b+3 ; c) = x(1; -4; 0) + y(0; -5; 1)
CA (1-0 ; -2+3; -1-0) = x(1; -4; 0) + y(0; -5; 1)
il vaut mieux appeler x, y et z les coordonnées de M (le point courant)
et garder a et b pour les coefficients des vecteurs
CM( x ; y+3 ; z)
tu obtiens
x =a
y+3 = -4a-5b
z =bde là tu reportes a et b dans la 2e
et tu obtiens ton équation de plan
désolée, je quitte pour ce soir
je regarde demain si personne n'a pris le relais
bonne soirée
Donc
CM (x-0 ; y+3 ; z-0) = a + b
CM (x ; y+3 ; z) = a(1; -4; 0) + b(0; -5; 1)
CA (1-0 ; -2+3; -1-0) = a(1; -4; 0) + b(0; -5; 1)
1 = a
1 = -4a -5b 1 = -4x1 - 5x(-1)
-1 = b
CB (3-0; -5+3; -2-0) = a(1; -4; 0) + b(0; -5; 1)
3 = a
-2 = -4a-5b -2 = -4x3 - 5x(-2)
-2 = b
A et B appartiennent donc au plan P donc (AB) à P?
bonjour
pourquoi n'as-tu pas écrit ton équation de plan, et ensuite tu vérifiais tout simplement que tes points appartenaient au plan en vérifiant que les coordonnées de chacun des points vérifiaient ton équation cartésienne, mais c'est comme tu veux
Bonjour,
Oui je trouve que c'est plus simple pour ma part de faire comme ça;
Pour la question b)
Voici ce que j'ai écrit
D de coordonnées (x; y; z) d2 
s :
x = 2 - s
y = -1 + 2 s
z = -s
donc :
2 - s =
2 + 2s = -4 - 5
-s =
D (x; y; z) P s, :
x =
y = -4 - 5
z =
donc :
2 - 5 =
2 + 2s = -4(2-5) -5 x(-3)
-s =
2+s = -8 + 4s + 5s
2 + 8 = 8s
10/8 = s
Alors :
xD = 2-(5/4) = 3/4
yD = -1 + 2 x 5/4 = 3/2
zD = -5/4
bonsoir
personnellement, je trouve pour une équation du plan P : 4x+y+5z+3=0
et pour
D(4/7 ; 13/7 ; -10/7)
mais bon...une erreur est toujours possible...donc à vérifier
Bonsoir,
Est-il possible de me montrer les étapes afin d'avoir trouvé vos résultats? J'ai demandé à quelques amis, ils sont arrivés à la même conclusion que vous, mais je ne sais pas justement comment vous avez fait.
Merci !
il vaut mieux appeler x, y et z les coordonnées de M (le point courant)
et garder a et b pour les coefficients des vecteurs
CM( x ; y+3 ; z)
tu obtiens
x =a
y+3 = -4a-5b
z =bde là tu reportes a et b dans la 2e
et tu obtiens ton équation de plan
tu en tires a = x et b=z
et tu reportes dans la 2e ligne
y+3=-4x-5z
soit 4x+y+5z+3=0 (équation du plan P)
ensuite tu fais ton intersection entre P et d2 en remplaçant
x = 2 - s
y = -1 + 2s
z = -s
dans l'équation cartésienne du plan trouvée
tu termines ?
Je suis pas sûr mais voilà
x = 2 - s
y = -1 + 2s
z = -s
x = 2 - s
y = 5z+10
z = -s
x = 2 - s
y = 5x(-1) + 10
z = -1
x = 2-s
7y = 10
z = -1
x = 2 - 10/7
y = 10/7
z = -10/7
x = 4/7
y = 10/7
z = -10/7
il est difficile de suivre quand on ne dit pas ce qu'on fait au niveau des relations
18h03
dans l'équation de plan, je remplace en une seule fois x, y et z par
x = 2 - s
y = -1 + 2s
z = -s
tu trouves s (en 1 ligne)
et une fois s connu, tu remplaces dans le système et tu as immédiatement les coordonnées du point d'intersection
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