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Représentation paramétrique d'un plan

Posté par
Roudaille 10-07-20 à 12:10

Bonjour à tous,

Je me suis repenché sur d'anciens cours de géométrie lycée/fac pour me remémorer certaines notions. Je suis bloqué à un point : la représentation paramétrique d'un plan passant par un point et de vecteur normal.

L'exemple sur lequel je suis est le suivant :

Soit P un plan passant par le point A=\begin{pmatrix} -1\\4 \\ 1\end{pmatrix}
  et de vecteur normal \vec n = \begin{pmatrix} 5\\-2 \\ 5\end{pmatrix}

Je parviens à déterminer une équation cartésienne sans problème :

M\in (P),  M=\begin{pmatrix} x\\y \\ z\end{pmatrix}
\vec {AM} . \vec n = 0

Une équation cartésienne du plan est :

(eq1): 5x-2y+5z-8=0


Pour l'équation paramétrique, je sais qu'on a besoin 2 vecteurs directeurs \vec u et \vec v tels que :
\vec{AM}=a\vec{u}+b\vec{v},     a,b \in \R

Comment les déterminer ces 2 vecteurs ?

J'ai la réponse à l'exemple mais pas l'explication

(eq2):\begin{cases}& \ x=-1+a  \\  & \ y=-4+5b \\  & \ z=1-a+2b} \end{cases} a,b \in \R[


Merci pour votre aide pour ces notions qui ont 15 ans dans ma tête

Posté par
mathafou Moderateurre : Représentation paramétrique d'un plan 10-07-20 à 12:24

Bonjour,

non. ce n'est pas LA réponse mais UNE réponse possible à l'exemple
on doit en fait chercher deux vecteurs orthogonaux au vecteur normal, et non colinéaires entre eux
il existe une infinité de tels vecteurs

ici la solution proposée a choisi les vecteurs (1; 0; -1) et (0; 5; 2)
pourquoi pas ...

on peut choisir des points arbitraires du plan autres que A pour définir ces vecteurs en partant de l'équation cartésienne.

ou bidouiller l'équation \vec{n}.\vec{u} = 0 pour choisir des coordonnées de \vec{u} qui collent
et pareil pour \vec{v} en faisant attention à ne pas les choisir colinéaires.
(sans même avoir besoin de l'équation cartésienne)

Posté par
Leilere : Représentation paramétrique d'un plan 10-07-20 à 12:54

bonjour,
je ne fais que passer :  

A=\begin{pmatrix} -1\\4 \\ 1\end{pmatrix}

ce serait pas plutôt

A=\begin{pmatrix} -1\\-4 \\ 1\end{pmatrix}

?

Posté par
carpediemre : Représentation paramétrique d'un plan 10-07-20 à 13:08

salut

en complément de mathafou je te propose trois représentations paramétriques triviales à partir de (une) l'équation cartésienne 5x - 2y + 5z - 8 = 0 :

\left\lbrace\begin{matrix} x = x\\y = y \\ z = \dfrac 1 5 (8 - 5x + 2y) \end{matrix}\right. et \left\lbrace\begin{matrix} x = x\\y = \dfrac 1 2 (5x + 5z - 8) \\ z = z \end{matrix}\right. et \left\lbrace\begin{matrix} x = \dfrac 1 5 (2y - 5z + 8) \\y = y \\ z = z \end{matrix}\right.

Posté par
Roudaillere : Représentation paramétrique d'un plan 10-07-20 à 13:10

mathafou @ 10-07-2020 à 12:24

Bonjour,

non. ce n'est pas LA réponse mais UNE réponse possible à l'exemple
on doit en fait chercher deux vecteurs  orthogonaux au vecteur normal,  et non colinéaires  entre eux
il existe une infinité de tels vecteurs

ici la solution proposée a choisi les vecteurs  (1; 0; -1) et (0; 5; 2)
pourquoi pas ...

on peut choisir des points arbitraires du plan autres que A pour définir ces vecteurs en partant de l'équation  cartésienne.

ou bidouiller l'équation \vec{n}.\vec{u} = 0 pour choisir des coordonnées de \vec{u} qui collent
et pareil pour \vec{v} en faisant attention à ne pas les choisir colinéaires.
(sans même avoir besoin de l'équation cartésienne)


Merci pour cette explication. Et si je pousse un peu plus loin. Est-ce qu'on sait faire quelque chose avec la réduction de Gauss ?

Posté par
Roudaillere : Représentation paramétrique d'un plan 10-07-20 à 13:11

Leile @ 10-07-2020 à 12:54

bonjour,
je ne fais que passer :  

A=\begin{pmatrix} -1\\4 \\ 1\end{pmatrix}

ce serait pas plutôt

A=\begin{pmatrix} -1\\-4 \\ 1\end{pmatrix}

?


Of course vous avez raison, une petite faute de frappe s'est glissée et je ne sais pas comment rééditer le topic.

Posté par
malou Webmasterre : Représentation paramétrique d'un plan 10-07-20 à 13:41

Roudaille, bonjour et bienvenue
mais peux-tu compléter ton profil s'il te plaît ? afin d'adapter au mieux les réponses à tes questions (reprise d'études niveau lycée ? )
merci

Posté par
mathafou Moderateurre : Représentation paramétrique d'un plan 10-07-20 à 13:42

Citation :
Est-ce qu'on sait faire quelque chose avec la réduction de Gauss ?
inutile de sortir l'artillerie lourde pour imaginer des solutions triviales à la pelle pour

5x_u - 2y_u +5z_u = 0
en choisissant arbitrairement par exemple x_u et y_u et en calculant z_u !!

et pareil pour choisir des point du plan à partir de l'équation cartésienne.

Posté par
Roudaillere : Représentation paramétrique d'un plan 10-07-20 à 13:48

malou @ 10-07-2020 à 13:41

Roudaille, bonjour et bienvenue
mais peux-tu compléter ton profil s'il te plaît ? afin d'adapter au mieux les réponses à tes questions (reprise d'études niveau lycée ? )
merci



Effectivement j'ai complété mon profil. Je me replonge dans des notions de géométrie personnellement pour me faire un formulaire de calcul parce qu'il y a des notions dont j'ai besoin et dont je ne me souviens plus

Posté par
malou Webmasterre : Représentation paramétrique d'un plan 10-07-20 à 13:49

Merci
Bonne remise à niveau alors !

Posté par
Roudaillere : Représentation paramétrique d'un plan 10-07-20 à 13:53

mathafou @ 10-07-2020 à 13:42

Citation :
Est-ce qu'on sait faire quelque chose avec la réduction de Gauss ?
inutile de sortir l'artillerie lourde pour imaginer des solutions triviales à la pelle pour

5x_u - 2y_u +5z_u = 0
en choisissant arbitrairement par exemple x_u et y_u et en calculant z_u !!

et pareil pour choisir des point du plan à partir de l'équation cartésienne.


Oui ça marche comme ça à vue d'œil d'humain.
Mais actuellement je me fais un formulaire de synthèse des calculs en automatique (aujourd'hui tableur excel, demain fonctions python), et ce type de solution à déterminer n'est pas si trivial à définir.
J'ai retrouvé des info sur l'équation de Diophante

Posté par
mathafou Moderateurre : Représentation paramétrique d'un plan 10-07-20 à 14:06

"choisir arbitrairement" ça peut être 0 et 1 !!
de toute façon quoi qu'on fasse il y aura toujours des cas particuliers (si une ou deux des coordonnées du vecteur normal est nul) à traiter "spécialement"

si on veut des coordonnées entières, effectivement, ça ramène aux équations de Diophante...

Mais un vecteur de coordonnées (2/5, 1, 0) convient tout autant
(comme j'ai dit je fixe arbitrairement yu = 1 et zu = 0 ..)

Posté par
carpediemre : Représentation paramétrique d'un plan 10-07-20 à 14:22

surtout que si v = (2/5, 1, 0) est orthogonal à u alors il en est de même de 5v ...

Posté par
mathafou Moderateurre : Représentation paramétrique d'un plan 10-07-20 à 14:26

je me référais à des calculs systématiques par un programme "bête" qui fait toujours la même chose
en particulier avec des données d'entrées non forcément entières

pas à un être humain capable de réflexion ...


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