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Représentation paramétrique d'un plan de l'espace

Posté par
aquaa
28-11-13 à 18:04

Bonsoir, j'ai un exercice à faire mais je ne comprends pas très bien ce que l'on attend.

La droite d1 dont une représentation paramétrique est :

{x= 6 - 3t
{y= -7 + 2t
{z= -1+t

1) a- Le point A(3; -5; 1) appartient-il à d1 ?
b- Existe-t-il un point B de d1 d'ordonnée y=9 ? si oui préciser ses coordonnées.
c- Le point C de coordonnées (-10; 11; 8) appartient-il à la droite delta parallèle à d1 passant par le point E de coordonnées (2; 3;4) ?

2) Soit d2 la droite de l'espace dont une représentation paramétrique est :
{x= -3+ s
{y= -3
{z= -5 +2s
Quelles sont les positions relatives des droites d1 et d2?

3) Justifier que les droites d1 et d2 sont coplanaires et déterminer une représentation paramétrique du plan P contenant les droites d1 et d2.

------------------------------------------------------

Mes réponses :
1) a- 6-3t= 3          -7+2t= -5         -1+t= 1
-3t = -3                2t =2            t=2
t= 1                     t=1
Comme t n'est pas égal à 1 pour z alors a n'appartient pas à d1.
Mais pour le reste des questions je ne sais pas quoi faire pourriez-vous m'aider s'il-vous-plaît ?

Posté par
Priam
re : Représentation paramétrique d'un plan de l'espace 28-11-13 à 18:16

1)b). Tu n'as pas répondu à cette question, analogue à la question a) ?
c) Commence par écrire une représentation paramétrique de la droite parallèle à d1.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Représentation paramétrique d'un plan de l'espace 28-11-13 à 18:17

b- Existe-t-il un point B de d1 d'ordonnée y=9 ? et bien tu fais -7 + 2t =9, tu en déduis t et tu calcules x et z et tu auras les cordonnées du point

c- Le point C de coordonnées (-10; 11; 8) appartient-il à la droite delta parallèle à d1 passant par le point E de coordonnées (2; 3;4) ?
Trouve d'abord l'équation de la droite Delta. Elle est parallèle à d1 donc elle a même vecteur directeur donc elle a pour équations x=-3t+a ; y= 2t + b ; z=t+c . Elle passe par (2; 3;4) donc on peut prendre a=2;b=3;c=4
maintenant que l'on a les équations paramétriques de Delta, on peut voir si le point (-10; 11; 8) est dessus.

Posté par
aquaa
re : Représentation paramétrique d'un plan de l'espace 28-11-13 à 18:26

Pour la question b j'ai trouvé B( -18; 9; 7) c'est bien cela ?
et pour la c j'ai trouvé que C appartenait à delta car :
delta :
{x= -3t +2
{y= 2t + 3
{z= t+4

C(-10; 11; 8)
-3t +2= -10          2t+3=11       t+4=2
t=4                  t=4           t=4

Comme t = 4 pour x,y et z alors C appartient à delta


Et pour les autres questions je ne vois pas trop la différence entre la 2 et la 3

Posté par
Glapion Moderateur
re : Représentation paramétrique d'un plan de l'espace 28-11-13 à 18:30

Oui c'est vrai que parler des positions relatives de deux droites dans l'espace c'est en fait dire si elles se coupent ou pas. Et si elle se coupent c'est qu'elles sont coplanaires. Donc les deux questions sont voisines, tu as raison.

Posté par
aquaa
re : Représentation paramétrique d'un plan de l'espace 28-11-13 à 18:37

Donc pour la question 2 je dois démontrer qu'elles ne sont pas parallèles mais sécantes et pour la question 3 je ne vois pas vraiment pourquoi il faut justifier si j'ai fait le reste dans la question 2.. Je ne comprends pas trop ^^'
Et pour démontrer j'avais commencé mais lorsqu'on doit prouver qu'elles sont sécantes je ne sais pas quelles lignes choisir :/

Posté par
aquaa
re : Représentation paramétrique d'un plan de l'espace 28-11-13 à 18:51

Comment est-ce que je dois m'y prendre ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Représentation paramétrique d'un plan de l'espace 28-11-13 à 18:55

Pour prouver qu'elles sont sécantes, tu égales leurs x;y;z avec les deux premières tu trouves t et s et tu montres que la troisième équation est également compatible.

Posté par
aquaa
re : Représentation paramétrique d'un plan de l'espace 28-11-13 à 19:10

A cette ligne :
{-3t-s = -9  L1  *2   {-6t-2s = -18
{2t = 4      L2  *3   { 6t= 12
{t -2s= -4   L3       { t - 2s= -4

{-2s = -24
Et après je suis bloqué :/

Posté par
Glapion Moderateur
re : Représentation paramétrique d'un plan de l'espace 28-11-13 à 19:14

C'est tout simple, 2t=4 te donne t=2
la première équation -3t-s = -9 te donne alors s=3
et puis tu regardes si la dernière équation -1+t = -5+2s est compatible en remplaçant t par 2 et s par 3 et tu constates que oui.

Posté par
aquaa
re : Représentation paramétrique d'un plan de l'espace 28-11-13 à 19:19

Ah d'accord j'ai compris !
Et du coup pour la question 3 comment est-ce que je dois justifier que les droites sont coplanaires ? Tout est marqué dans ce que j'ai fait plus haut non ?
Ou je dois seulement dire que puisque les droites sont sécantes alors elles sont coplanaires ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Représentation paramétrique d'un plan de l'espace 28-11-13 à 19:27

Oui, si elles se coupent c'est qu'elles sont coplanaires.

Posté par
aquaa
re : Représentation paramétrique d'un plan de l'espace 28-11-13 à 19:32

Leur représentation paramétrique serait donc :
{ x= 3 - 3t -s
{ y= -4 + 2t
{ z= 4 + t -2s

C'est juste ?

Posté par
aquaa
re : Représentation paramétrique d'un plan de l'espace 28-11-13 à 20:00

?

Posté par
Priam
re : Représentation paramétrique d'un plan de l'espace 28-11-13 à 20:01

3) Pour déterminer une représentation paramétrique du plan P, je procéderais comme suit.
Soit M un pont quelconque de ce plan et A le point d'intersection des deux droites d1 et d2, point qui appartient évidemment au plan P. Soit  u  et  v  des vecteurs directeurs respectifs de ces deux droites.
La position du point M peut être définie par la relation vectorielle  AM = mu + pv , où  m  et  p  sont des paramètres.
En projetant cette relation sur les trois axes du repère, on obtient une représentation paramétrique (paramètres  m  et  p ) du plan P.

Posté par
aquaa
re : Représentation paramétrique d'un plan de l'espace 28-11-13 à 20:02

D'accord, merci beaucoup

Posté par
Glapion Moderateur
re : Représentation paramétrique d'un plan de l'espace 28-11-13 à 22:18

tu avais trouvé le point d'intersection des deux droites, c'était pour t=2 donc (0,-3,1)
tu as un vecteur directeur de la première (-3,2,1) et un de la seconde (1;0;2)
donc effectivement si tu suis l'indication de Priam, tu peux directement dire que des équations paramétriques du plan sont :

x=-3t+s
y=-3t-3
z=t+2s+1



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