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Représentations d’équations différentielles
Bonjour,
Est-ce que quelqu'un peut me dire si mes raisonnements/justifications sont bonnes pour cet exercice svp? Et me dire si c'est comme ça qu'il faudrait pour rédiger pour un contrôle? Merci par avance
On considère les équations différentielles:
(E1) : y' = -3y, (E2) : y' = 5y et (E3) : y'=1/5y.
Les courbes C1, C2, C3 ci-contre représentent chacune une solution de chacune des équations précédentes dans un repère orthonormé.
Associer à chaque courbe l'équation différentielle qui lui correspond.
1) (E1) : y'=-3y , a=-3
y= Ce^-3x donc a<0 or si a<0, la courbe converge vers 0 en +infini. Ce ne peut être que la courbe C2.
C2 est la courbe représentative de (E1)
(E2) : y'=5y , a=5
y= Ce^5x
On prend un point sur la courbe C3:
(0; -1). On a -1= Ce^(5*0) -> C=-1
y= -e^5x
On vérifie si y converge vers 0 en -infini
lim -e^5x = 0
De plus C<0 donc la courbe est en dessous de l'axe des abscisses.
C3 est la courbe représentative de (E2)
(E3) : y'=1/5y, a=1/5
y= Ce^1/5x
On prend un point sur la courbe C2:
(0;2). On a 2=Ce^0 -> C=2
C>0 et a>0 donc la courbe est au dessus de la courbe des abscisses et la courbe va converger vers 0 en -infini.
Bonsoir,
Les résultats sont corrects mais c'est très brouillon, ces termes "a" sortent de nulle part...
La bonne rédaction aurait été de trouver la solution générale de chaque équation, éventuellement discuter les cas particuliers, et voir ce qui correspond.
Par exemple, pour E1, effectivement la solution générale est y = Ce-3x, un raisonnement aurait été de remarquer que quelque soit le signe de C, y tend vers 0 quand x tend vers =+oo
Or C2 est la seule courbe qui ait ce comportement, donc E1 correspond à C2.
Pour les deux autres, tu peux calculer le C des solutions en regardant en x=0. Tu regardes alors si c'est compatible avec un autre point bien choisi, par exemple x = -1.
Tu verras tout de suite les résultats.
Merci, j'ai compris la méthode pour E1 mais pas celle pour les 2 autres.
Pour E2 par exemple, on remplace le x dans la solution générale par 0? Et on trouve y=C
C'est ça qu'il faut faire?
Pour E2 tu as bien dit que la solution générale est y = C.e5x.
Essaye de voir si ça pourrait correspondre avec C1.
Sur C1, pour x = 0, tu as y = 2
Donc 2 = C.e5*0 = C
Donc C = 2
Donc y = 2e5x
Calcule alors y par exemple pour x = -3/2, et regarde si c'est compatible avec la courbe C1
Tu dois trouver que non, dons E2 ça serait plutôt C3.
Refais le calcul du C en supposant que E2 correspond à C3, d'abord en x = 0 pour avoir le C, ensuite en x = -1 pour vérifier sur la courbe.
Ça devrait être bon, donc par élimination E3 correspondrait à C1.
Procède de même, calcul du C avec x = 0 puis vérification avec par exemple x = -3/2
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