Salut Rirouu,

Résoudre un système d'équations, c'est trouver un ensemble de solutions qui satisfont chaque équation du système.
Tu as déjà les solutions de la première équation, donc oui, il faut l'utiliser, et trouver parmi ces solutions lesquelles satisfont aussi la deuxième équation.

Donc on a :
(1) 25 x - 31 y = 7
(2) pgcd (x,y) = 7

les solutions de (1) sont les (31k+35,25k+28).

Pour quels k ces couples sont solutions de (2) ?

Pour k = 0 par exemple, on a bien pgcd(35, 28) = 7. Donc ça marche.
Pour k = 1, pgcd(66, 53), ça ne marche pas.

Donc pour résoudre, il te reste à trouver dans quelles conditions le pgcd(31k+35, 25k+28) = 7.
(en t'appuyant sur la définition du pgcd)

Pgcd(31k+35,25k+28 = 7 donc  7 divise 31k+35 or 7 divise 35 donc 7 divise 31k , or 7 et 31 sont premiers entre eux donc d'apres Gauss 7 divise k , ainsi k= 7 q avec q appartient à Z
Donc ( x,y) = (217q+35,175q+28) q appartient à z

C'est juste?

Là tu as montré que pgcd(31k+35,25k+28)=7, c'est à dire que tes solutions appartiennent à l'ensemble des (217q+35,175q+28). Mais tu cherches une condition nécessaire et suffisante, c'est à dire tu dois trouver pour quelles valeurs de q le couple (217q+35,175q+28) a pour pgcd 7.

Ça devient compliqué   comment trouver ces valeurs

Je te propose de calculer pgcd(217q+35,175q+28) avec l'algorithme d'Euclide (il dépendra de q) et de voir pour quelle valeur de q le résultat est égal à 7.

salut

pgcd(31k+35, 25k+28) = 7.  veut  dire que  7 divise 31k+35 et 7 divise 25k+28

quelque chose divisé par 7 sera de la forme  A = 7.Q + R ou R < 7 donc R peut prendre les valeurs 0,1,2,3,4,5,6.

si k = 0[7] alors  31k=0[7] et 31k+35 = 35[7] =0[7] donc convient

si k = 1[7] alors  31k=31[7] comme 31=3[7] alors 31k=3[7] et 31k+35=38[7] soit 31k+35=3[7]  ne convient pas.

si k = 2[7]  meme raisonnement 31k = 62[7] soit 31k + 35 = 102[7] soit 31k+35 = 4[7] ne convient pas

si k = 3[7]  meme raisonnement 31k = 93[7] soit 31k + 55 = 2[7] ne convient pas

si k = 4[7] ..ne convient pas
si k = 5[7] ne convient pas
si k = 6[7] ne convient pas

donc seul k = 7.p convient  alors x = 31(7p)+35 = 217.p + 35  et y = 28+175.p

si p = 0 x = 35 et y = 28  pgcd donne 7
si p = 1 x= 252 et y = 203 pgcd donne 7
si p = 2 x = 469 y =378 pgcd donne 7