Salut,
oui ca n'est en effet pas trivial, cependant la solution existe, et on peut le montrer par des arguments simples.
Si on arrive à trouver une relation relativement simple permettant de définir cette fonction (sorte de fonction solution), notons la s(x), alors on doit pouvoir trouver plus ou moins facilement une approximation de x (plus ou moins bonne) ou éventuellement un développement en série par exemple.
La question principale à se poser est:
"que veut on faire du résultat?" (ie de quel genre de solution à t'on besoin? une suite (xn) convergente vers s(x) suffirait elle? si oui à quelle vitesse?)
Je pense que c'est ici qu'il faut chercher maintenant, parce que c'est compromis pour trouver s(x) explicitement (j'entend, par des fonctions usuelles) pour des valeurs quelconques de x.
Un truc assez simpliste serait de considérer dans un premier temps que cosh(t)~1
Notamment
A=x-xo
et on aura x=A+xo de manière assez grossière (ca donne une idée de localisation de la solution)
On peut pousser plus et dire
cosh(t)~1+t²/2
notamment
A=tcosh(t²) devient "pratiquement"
A=t(1+t4/2)
Mais là on ne fait que déplacer le problème.
Pire encore, on trouve des équations que l'on ne sait pas forcément résoudre et que l'on va devoir elle mêmes approxher, ce qui fait perdre de la précision.
De manière purement formelle, une fonction s (solution) existe partout (ou presque), d'après le théorème des fonctions implicites notamment je pense. Mais avoir des informations intéressantes à son sujet est surement non trivial.
Bonne chance,
Otto