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resolution d'une equation de produit vectoriel

Posté par
dokafolosoro 02-10-16 à 12:09

Bonjour j'ai un soucis avec la résolution d'une équation de produit vectoriel.Etant donnés trois vecteurs a,b,c et un nombre réel non nul r       résoudre l'équation rx+a^x=b merci pour vos aides que vous allez m'apporter .

Posté par
etniopalre : resolution d'une equation de produit vectoriel 02-10-16 à 12:16

Que fait c dans l'histoire ?

Posté par
dokafolosorore : resolution d'une equation de produit vectoriel 02-10-16 à 12:51

C intervient dans la question suivante

Posté par
carpediemre : resolution d'une equation de produit vectoriel 02-10-16 à 13:02

salut

le produit vectoriel étant alterné ... et distributif (par rapport à l'addition)

rx + a^x = b <=> ra^x + a^(a^x) = a^b <=> ....

on en déduit donc aisément x ...

Posté par
luzakre : resolution d'une equation de produit vectoriel 02-10-16 à 14:02

Bonjour carpediem !
Aisément, tu en es certain ? Car il vient ra\wedge x+(a\cdot x)a-\lVert a\rVert^2x=a\wedge b et après ?

Pour ma part, je n'ai rien vu à part prendre un repère orthonormé où a=(\alpha,0,0) dirige le premier vecteur, b=(\beta,\beta',0) dans le plan des deux premiers vecteurs.
Et on cherche les coordonnées du vecteur x  (système assez simple de 3 équations).

Posté par
carpediemre : resolution d'une equation de produit vectoriel 02-10-16 à 18:38

oui bien sur ... évidemment prendre le produit scalaire !!!

rx + a^x = b <=> ra.x + a.(a^x) = a.b <=> a.(rx - b) = 0

Posté par
luzakre : resolution d'une equation de produit vectoriel 02-10-16 à 23:05

Je cherche peut-être la petite bête mais es-tu certain de l'équivalence ?
Il me semble que x=\dfrac1rb vérifie la dernière relation mais pas la première, à moins que...

Posté par
carpediemre : resolution d'une equation de produit vectoriel 02-10-16 à 23:35

il me semble bien que : u.v = u.w <=> u.(v - w) = 0 est vraie ...

mais il me semble bien que tu aies raison aussi ...

c'est donc la première équivalence qui pèche  ...

rx + a^x = b <=> a^x = b - rx => b - rx est orthogonal à a

...

Posté par
luzakre : resolution d'une equation de produit vectoriel 03-10-16 à 08:10

J'ai voulu continuer sur ton idée. Si u est orthogonal à a a-t-on une solution b-rx=u ?
Il faut donc vérifier si (b-u)+\dfrac1r a\wedge(b-u)=b soit ru+a\wedge u=0 et là j'ai l'impression de tourner en rond...

En revenant à mon idée d'utilisation d'un repère je trouve que si a\neq0 il y a une unique solution.

Posté par
jsvdbre : resolution d'une equation de produit vectoriel 03-10-16 à 13:49

Bonjour à tous.

Et si on écrivait le produit vectoriel : \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \end{vmatrix} \\ \\ \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_3 & y_3 \end{vmatrix} \\ \\ \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} \\ \end{pmatrix}.

Donc

rx + a \land x = b \Leftrightarrow \begin{pmatrix} r.x_1\\ r.x_2\\ r.x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} a_2 & x_2 \\ a_3 & x_3 \end{vmatrix} \\ \\ \begin{vmatrix} a_1 & x_1 \\ a_3 & x_3 \end{vmatrix} \\ \\ \begin{vmatrix} a_1 & x_1 \\ a_2 & x_2 \end{vmatrix} \\ \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}

On obtient le système préconisé par notre ami Luzak :


rx + a \land x = b \Leftrightarrow \begin{cases} \\ r.x_1 - a_3.x_2 + a_2.x_3 = b_1  \\ \\ - a_3.x_1+r.x_2 + a_1.x_3  = b_2\\ \\ - a_2.x_1 + a_1.x_2+ r.x_3   = b_3\\     \\ \end{cases}

Ce qui revient à résoudre :

\begin{pmatrix} r & -a_3 & a_2\\ -a_3 & r & a_1\\ -a_2 & a_1& r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}

Posté par
carpediemre : resolution d'une equation de produit vectoriel 03-10-16 à 19:49

soit d un vecteur (unitaire éventuellement) orthogonal à a et tel que a, b et d soit coplanaires et e un vecteur tel que (a, d, e) soit orthogonale

il existe des réels u et v tels que b = ua + vd

rx + a^x = b <=> ra.x = ua.a <=> a.(rx - ua) = 0 <= rx - ua = wd + te <=> x = (ua + wd + te)/r

il faut faire une synthèse ... pour déterminer w et t ...

en fait on sait résoudre directement ra.x = ua² <=> a.x = ua²/r ...

Posté par
jsvdbre : resolution d'une equation de produit vectoriel 03-10-16 à 21:44

Le déterminant de la matrice est r.(r^2-(a_1^2-a_2^2+a_3^2)).

Donc il n'existera de solution que si r \neq 0 et r^2 \neq (a_1^2-a_2^2+a_3^2) .

Sous ces hypothèses :

\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{r.(r^2-(a_1^2-a_2^2+a_3^2))}.\begin{pmatrix} \\ (r^2-a_1^2)&(a_3r +a_1a_2)&-(a_2r+a_1a_3)\\ \\ (a_3r -a_1a_2)& (r^2+a_2^2) &- (a_1r+a_2a_3)\\ \\ (a_2r -a_1a_3)&(a_2a_3-a_1r)&(r^2-a_3) \\ \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}

C'est résolu, mais c'est pas très esthétique !!

Posté par
jsvdbre : resolution d'une equation de produit vectoriel 03-10-16 à 21:46

Il manque un carré sur le coeff (3,3) de la matrice qui est r^2 - a_3^2

Posté par
luzakre : resolution d'une equation de produit vectoriel 03-10-16 à 23:18

Bonsoir jcvdb !
Je crois qu'il y a une erreur : la deuxième composante du produit vectoriel devrait être changée de signe .

En refaisant le calcul avec tes notations on a le déterminant : r(r^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2) mais je n'ai pas eu le courage d'écrire la solution.


En prenant la base que j'ai proposée, a_2=a3=0,\;b_3=0 on obtient un système de Cramer :

\left\lbrace\begin{matrix} rx_1& & & & &= &b_1 \\ & &rx_2 &- &a_1x_3 &= &b_2 \\ & &a_1x_2 &+ &rx_3 &= &b_3 \end{matrix}\right.

Posté par
jsvdbre : resolution d'une equation de produit vectoriel 03-10-16 à 23:31

J'me disais bien que l'esthétique n'était pas au rendez-vous !!
J'ai oublié un signe ! C'est un signe des temps ! (Pas un cygne d'étang !)

Posté par
luzakre : resolution d'une equation de produit vectoriel 04-10-16 à 08:29

Moins de calcul dans ce qui suit (je suppose r,a non nuls) :
Soit f : x\mapsto rx+a\wedge x endomorphisme de \R^3.
Si f(x)=0 on a 0=f(x)\cdot x=r\lVert x\rVert^2 donc f injective ce qui assure existence et unicité de l'antécédent de b.

En utilisant la base orthonormée (u,v,w) où a=\lVert a\rVert u,\;w=u\wedge v la matrice de f sera
\begin{pmatrix} r &0 &0 \\ 0&r &-\lVert a\rVert \\ 0 &\lVert a\rVert &r \end{pmatrix}.

Posté par
DOMOREAre : resolution d'une equation de produit vectoriel 04-10-16 à 16:00

bonjour,
@luzak je n'ai pas vu la définition de ton v
Je pense que tu as choisi comme moi car je trouve la même matrice. La base orthonormale directe ((e_1;e_2;e_3)est la suivante:
B=(\frac{a}{||a||};\frac{a\wedge b}{||a\wedge b||}; \frac{a\wedge (a\wedge b)}{||a||||a\wedge b||})
inverser la matrice est immédiat   mais ensuite il faut exprimer b dans la base choisie, et j'ai fait les calculs, ce n'est pas sympa du tout...
l'avantage par rapport à la solution générale donnée par jsvdb le 3/10 c'est qu'elle est liée aux vecteurs a et b et à r.

.
On peut biensûr alléger l'écriture avecb=(b.e_1)e_1+(b.e_2)e_2+(b.e_3)e3

Posté par
luzakre : resolution d'une equation de produit vectoriel 04-10-16 à 16:07

Je n'ai pas donné de définition pour v parce que tout vecteur normé dans l'orthogonal de a convient.

Evidemment, avec ton choix, l'équation avec second membre devient un peu plus simple (puisque b\cdot e_2=0) mais je voulais juste illustrer l'utilisation d'un isomorphisme.

Posté par
DOMOREAre : resolution d'une equation de produit vectoriel 04-10-16 à 17:55

bonjour,
Comme la solution calculatoire  ne donne pas une bonne vision de x,
je ne résiste pas à donner une solution géométrique ( qui permet de construire x )
Hypothèses écartant les cas dégénérés
a non colinéaire à b        r\neq 0
En posant y=rx et a'=a/r l'équation se ramène à y+a'\wedge y=b
donc j'écris x+a\wedge x=b en reprenant les mêmes lettres
Pour exemple  je me place dans le cas où  0<cos(a,b)
dans l'espace affine  soit  O l'origine , a=\vec{OA};  b=\vec{OB}; x=\vec{OM}
P le plan passant par O et orthogonal à (OA);  B' le projeté orthogonal de B sur P;  C_0= le cercle de diamètre [OB'] dans le plan P;   B" le projeté orthogonal de B sur (OA);  C_1 le cercle de diamètre [BB"] dans le plan passant  par B" et parallèle à P.
Si on appelle C le point tel que a\wedge x=\vec{OC}
Par nécessité (OCBM) est un rectangle  tel que C \in C_0 et  M\in C_1

Un calcul élémentaire permet de connaître ||x|| donc la mesure de OM
M est donc là l'intersection de C_1 et de la sphère de centre O et de rayon ||x||.    puis \vec{OM'}=\frac{1}{r}  \vec{OM}   pour revenir à la relation initiale

Pour déterminer ||x||
||x||^2+||a\wedge x||^2=||b||^2
||a\wedge x||^2=||a||^2 \times (||x||^2-(\frac{b.a}{||a||})^2)


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