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résolution d une équation différentielle

Posté par Deedee (invité) 26-11-05 à 14:34

Re bonjour a tous,
pouvez vous m'aider a resoudre une eq. diff. s'il vous plait?
y'+y = (1/2)x+1
merci beaucoup...


*** message déplacé ***

Posté par
Nightmare
re : résolution d une équation différentielle 26-11-05 à 14:37

Bonjour

3$\rm y : x\to \frac{1}{2}x+\frac{1}{2} est une solution particuliére
De plus, les solutions de l'équation homogéne y'+y=0 sont les fonctions 3$\rm y : x\to e^{-kx}, k décrivant R
Les solutions de l'équation différentielle avec second membre sont donc les fonctions y de paramétre réel k telles que
3$\rm y(x)=e^{-kx}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}

Posté par
Nightmare
re : résolution d une équation différentielle 26-11-05 à 14:39

Autant pour moi, c'est 3$\rm ke^{-x} et non 3$\rm e^{-kx}

Posté par Deedee (invité)re : résolution d une équation différentielle 26-11-05 à 14:47

merci!

Posté par
Nightmare
re : résolution d une équation différentielle 26-11-05 à 14:49

Posté par Deedee (invité)re : résolution d une équation différentielle 26-11-05 à 14:50

mais je ne comprends rien...

Posté par Deedee (invité)re : résolution d une équation différentielle 26-11-05 à 14:50

désolée!

Posté par
Nightmare
re : résolution d une équation différentielle 26-11-05 à 14:51

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ? la déduction je paris non ?

Posté par
Nightmare
re : résolution d une équation différentielle 26-11-05 à 14:52

Regarde ici

Posté par Deedee (invité)re : résolution d une équation différentielle 26-11-05 à 14:55

Et bien je viens juste d'attaquer ce chapitre et meme en connaissant tous mes théoremes et propriété, cela reste du chinoi...

Posté par Deedee (invité)re : résolution d une équation différentielle 26-11-05 à 14:56

je ne comprends pas la méthoden ni le but a atteindre (dsl je ne suis peut-etre pas tres claire!)

Posté par
Nightmare
re : résolution d une équation différentielle 26-11-05 à 15:00

Il faut savoir que les fonctions d'une équation linéaire du premier ordre avec second membre sont la somme d'une solution particuliére de l'équation avec second membre et de toutes les solutions de l'équation homogéne

C'est à dire que les solutions de l'équation a(x)y'+b(x)y=c(x) sont les fonctions f+gk où a(x)f'(x)+b(x)f(x)=c(x) et a(x)gk'(x)+b(x)gk(x)=0

Pour voir comment on démontre cela, référe toi au lien que je t'ai donné

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : résolution d une équation différentielle 26-11-05 à 15:00

y'+y = (1/2)x + 1   (1)


Recherche des solutions de l'équation avec le second membre = 0:

y' + y = 0

Les solutions sont : y = C.e^(-x)  

Avec C une constante réelle.
---
Recherche d'une solution particulière de l'équation avec second membre.

Cette solution est de la forme y = Ax + B

y' = A

--> y + y' = Ax + (A + B)

On identifie le second membre de cette équation avec le second membre de l'équation (1). -->
On obtient le système:

A = 1/2
A+B = 1

--> A = 1/2 et B = 1/2

Une solution particulière  de l'équation avec second membre est donc:
y = (1/2)x + (1/2)
-----
Les solutions générales de l'équation y'+y = (1/2)x + 1 sont la somme des solutions de l'équation avec second membre = 0 et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.

-->
Solutions générales de l'équation y'+y = (1/2)x + 1:

y = C.e^(-x) + (1/2)x + (1/2)
-----
Sauf distraction.  

Posté par Deedee (invité)re : résolution d une équation différentielle 26-11-05 à 15:27

je vous remercie beaucoup et je tiens à vous dire que ce forum est extrêmement bien fait.
A bientot

Posté par Deedee (invité)re : résolution d une équation différentielle 26-11-05 à 15:29

juste un truc, comment sait-on que y'=A?

Posté par
otto
re : résolution d une équation différentielle 26-11-05 à 15:35

Si Y=Ax+b, Y'= A
non?



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