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RESOLUTiON D'UNE LiMiTE : LiM x tend qd vers 0 (cos x -1)/(x²) .

Posté par
BiiBiiFOCK
24-12-09 à 19:38

Bonsoir,
je mentrainai à refaire un controle et je bloque sur la resolution d'une limite qui est la suivante :
lim           (cos x - 1)/(x²)
x tend vers 0

mon professeur la reolu de la maniere suivante dans le corrigé qu'il ma donné:
=(cos2(x/2)-1)/(x²)
=(1-2sin²(x/2)-1)/(x²)
=-2(sin(x/2)/(x/2))²*1/4 -----------> et c'est la que je ne comprend pas car jusqu'ici tout vas bien. En effet je ne comprend pas pourquoi le x² au denominateur devient un x/2 et pourquoi aussi on multiplie par 1/4.
pour ce qui est de la suite, cela donne:
= -1/2(sin(x/2)/(x/2))²
lim qd x tend vers 0 x/2=0
on pose X=x/2
lim qd X tend vers 0 sinX/X=1 par propriete et dapres le TLFC, lim qg x tend vers 0(sin(x/2)/(x/2))=1
Enfin par produit de limites, la limite vaut -1/2 qd x tend vers 0.
Je suis en terminale S et je vous prie de bien vouloir me repondre dans les plus brefs delais.Merci davance.
Cordialement.

Posté par
pgeod
re : RESOLUTiON D'UNE LiMiTE : LiM x tend qd vers 0 (cos x -1)/( 24-12-09 à 19:50


=(1-2sin²(x/2)-1)/(x²)
...............
= -2 sin²(x/2) / x²
= -2 sin²(x/2) / [(x/2)² 4]
= - 1/2 sin²(x/2) / (x/2)²
= - 1/2 [sin(x/2) / (x/2)]²

...

Posté par
BiiBiiFOCK
j'ai toujours un petit souci... 25-12-09 à 14:33

Tout dabord merci pour votre reponse.
Cependant ce nest toujours pas, tout a fait clair.En effet apres y avoir reflechie longuement je ne comprend pas pourquoi au denominateur lorsqu'on divise par x/2 on multiplie par 4 ou 1/4 ce qui revient au meme.
De plus, par ex quand on a cos2(x/2)-1, cela est lecriture equivalente de cosx -1.Ainsi je ne vois pas pourquoi diviser x² par deux et ensuite multiplier par 1/4 equivaut a x².En revanche jai compris qu'il fallait que jobtiene une ecriture du type sinx/x car sa lim fait 1 quand x tend vers 0.Mais bon c'est bien letape precedente qui me gene vraiment.Je vous prie de bien vouloir me repondre.Merci davance.
Cordialement.

Posté par
pgeod
re : RESOLUTiON D'UNE LiMiTE : LiM x tend qd vers 0 (cos x -1)/( 25-12-09 à 14:44


en détaillant un poil plus :

  (cos x - 1)/(x²)
.............. cos2a = 2 cos²a - 1 => cos (2 x/2) = 2 cos²(x/2) - 1
= (2 cos²(x/2) - 1 - 1)/ x²
= (2 cos²(x/2) - 2)/ x²
.............. sin² + cos² = 1 <=> cos² = 1 - sin²
= (2 - 2sin²(x/2) - 2)/ x²
= - 2sin²(x/2) / x²
-------------------------------
= - 2sin²(x/2) / (2x/2)²
= - 2sin²(x/2) / [(2)² (x/2)²]
= -2 sin²(x/2) / [(x/2)² 4]
= -(2/4) sin²(x/2) / (x/2)²
------------------------------
= - 1/2 sin²(x/2) / (x/2)²
= - 1/2 [sin(x/2) / (x/2)]²

...

Posté par
BiiBiiFOCK
Oufff j'ai compris ! 25-12-09 à 16:15

Mercii beaucoup pour votre aide
j'ai compris et sa me redonne le sourire !
Merci encore et a bientot.

Posté par
pgeod
re : RESOLUTiON D'UNE LiMiTE : LiM x tend qd vers 0 (cos x -1)/( 25-12-09 à 16:30



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