Niveau Maths sup

résolution équation trigonométrique

Posté par technic (invité) 13-09-07 à 18:29

Bonjour
Je voudrais bien résoudre cette équation mais je n'y arrive pas:
Voici la colle:
2cosx+3sinx=1

Posté par re : résolution équation trigonométrique 13-09-07 à 19:25

Bonjour !

$2cos(x)+3sin(x)=1$
$\frac{2}{\sqrt13}cos(x)+\frac{3}{\sqrt13}sin(x))=\frac{1}{\sqrt13}$

Soit a l'angle vérifiant :

$\{{sin(a)=\frac{2}{\sqrt13}\atop\\cos(a)=\frac{3}{\sqrt13}}$

Un tel angle existe car sin²(a) + cos²(a) = 1 (c'est pour faire apparaitre cette ligne trigonométrique que l'on divise par 13)

L'équation à résoudre devient :

$sin(a+x)=\frac{1}{\sqrt13}$

$x\equiv Arcsin(\frac{3}{\sqrt13})-a \textrm \ \ \ \ modulo(2\pi)$

$x\equiv Arcsin(\frac{3}{\sqrt13})-Arcsin(\frac{2}{\sqrt13}) \textrm \ \ \ \ modulo(2\pi)$

Posté par technic (invité)re 13-09-07 à 19:33

merci bcp

Posté par re : résolution équation trigonométrique 13-09-07 à 19:43

On sait que cette équation possède des solutions mais on ne peut pas donner les valeurs exactes (modulo 2):
2cosx+3sinx=1, $\sqrt{2^2+3^2}(\frac{2}{\sqrt{2^2+3^2}}cosx+\frac{3}{\sqrt{2^2+3^2}}sinx)=1$ , le problème qui se pose est qu'on sait que $\frac{2}{\sqrt{2^2+3^2}} et \frac{3}{\sqrt{2^2+3^2}}$ sont des cos et sin d'un réel mais on connait pas la mesure principale de donc la solution sera en fonction de :
$\sqrt{2^2+3^2}$ (cos cosx+sin sinx)=1 qui s'écrit aussi cos(-x)=1/ $\sqrt{13}$ enfin 1/ $\sqrt{13}$ est à son tour un cosinus d'un réel mais on ignore une mesure principale.... la suite n'a pas de sens.

Posté par re : résolution équation trigonométrique 13-09-07 à 21:59

Je ne comprends pas ta remarque :

Citation :
on connait pas la mesure principale de

donc la solution sera en fonction de

13 et 3/

13 sont des nombres compris entre 0 et 1 qui représentent respectivement (dans mon exemple) l'ordonnée et l'abscisse d'un point C du cercle trigonométrique. Le nombre

est une mesure de l'angle formé par l'axe des abscisses et la droite (OC) (O désigne l'origine du repère).

Arcsin(2/

13)