salut

et si tu posais A =

(a  b)
(c  d)

et calculais A^2 ...

c'est ce que j'ai fait et j'ai trouvé A^2=
(a^2+bc    b(a+d))
(c(a+d )      d^2+bc)
j'ai essayé de résoudre a=a^2+bc
b=b(a+d)
c=c(a+d)
d=d^2+bc

mais cela n'a pas été un franc succès

ben si b = b(a + d) alors ... ? si c = c(a + d) alors ... ?

enfin

a = a^2 + bc
d = d^2 + bc

donc par soustraction ... ?

cela donne b(1-(a+b)=0
c(1-(a+b)=0
a^2=a-bc ainsi que d^2=d-bc

pour b et c on a deux solutions possibles, soit b/c =0 soit (1-(a+b))=0 ce qui donne:
1=a+d donc a=1-d et d=1-a

est ce exact?

à toi de continuer jusqu'au bout ...

sauf que la ou je bloque c'est que a^2=(1-d)^2=1-(d+bc)
1-2d+d^2=1-d-bc
(1-d)^2-2d=-d-bc
a^2-d=-bc
donc a^2=d-bc
or d^2=d-bc
donc est ce normal que a^2=d^2 a=b mais apres je ne sais pas trop ou aller car il faut montrer que b=c car si la matrice A est une matrice identité alors A^2=A  

b = b(a + d) <=> b(a + d - 1) = 0 <=> b = 0 ou a + d = 1

et idem c = 0 ou a + d = 1

donc b = 0 et c = 0 ou a + d = 1

que devient le système lorsque :

a/ b = c = 0
b/ a + d = 1

et à résoudre ...

une remarque :

mais dans le cas ou 1-(a+d) 0 alors b/c=0 donc b=c

sauf que je ne sais pas montrer que a et d sont egaux a 1 sachant que a+d=1 (d'apres ce qui a été dit plus haut ) donc a et d ne peuvent etre égaux a 1 donc j'ai une matrice
(a=d   b=0)
(c=0    a=d)
avec a/d0 or c'est pas la caractérisque de la matrice identité

je n'ai pas dit le contraire ...

les matrices :

(0  0)  (1  0)  (1  0)  (0  0)
(0  0)   (0  0)  (0  1)  (0  1)

ne sont-elles pas solution ?

à toit de trouver avec les quelles conditions on les obtient ...

ahhh, il faut que soit a soit d soit égal a 1 ou les deux  car il faut que le déterminant de la matrice A ( donc ad-bc )soit différent de 0 la seule exception étant la matrice identité

donc les conditions pour que A=A^2 c'est que c=b=0 et que a ou d ou les deux soit egal a 0 ou 1

mais en revanche comment on explique l'exception de la matrice identité qui fonctionne mais dont le déterminant est égal a 1

ça n'a rien à voir avec le déterminant ...

ah.....j'aurais dit qu'étant donné que a+d=1, soit a soit =1 mais je ne crois pas que ce soit ca car dans la matrice identité, a=1 et d=1 donc a+d1
je ne vois pas a quelle est la condition d'obtention........

d'ailleurs je viens de me rendre compte que la matrice (0 0) n'est pas en accord avec a+d=1                                                                                                           (0 0)

il y a un ou !!!

donc si b = c = 0 alors il reste :

a = a^2 <=> a(a - 1) = 0
d = d^2 <=> d(d - 1) = 0

je t'avais pourtant dit de résoudre chaque système avec chaque hypothèse ...

salut,
juste pour verifier