Il me semble qu'il n'existe pas de méthodes pour trouver une expression exacte de ton inconnue n. A priori, A, B et C doivent être positifs et par conséquent la fonction est une fonction croissante. Ses valeurs varient de 0 à l'infini. Il n'existe alors qu'une seule valeur de x pour laquelle f(x)=C. Pour la trouver, avec une calculatrice, tu peux utiliser un solveur. Sinon, tu peux trouver x par dichotomie en cherchant à encadrer x par deux valeurs telles que f(a)<C et f(b)>C de manière à pourvoir dire : puisque f(a) < f(x) < f(b) et puisque la fonction f est croissante, alors a < x < b. Puis tu divises l'intervalle en deux en calculant et selon la valeur trouvée, tu peux encadrer x avec deux nouvelles valeurs plus proches l'une de l'autre :

soit a < x <    (si )
soit < x < b    (si )

... et en itérant le processus...

déjà si tu remplaces  B  par B'= B^(1/12) tu n'as plus qu'une équation du type
A^n + B'^n= c , tu factorise  A^n(1+ (B'/A)^n)= c  si  A  est grand par rapport à  B'  tu auras grosso modo  A^n= c  qui se résoud, si c'est  B' qui est grand tu factorise par  B' .  Si  A  et  B' sont du même ordre de grandeur c'est plus complexe.

Malheureusement A et B peuvent être du même ordre de grandeur ("peuvent" car il s'agit de données connues mais variables...) ce qui empêche toute factorisation...
La méthode itérative fonctionne très bien. je me suis fais une petite macro en VBA et j'ai réalisé un script pour le service informatique afin de l'implémenter dans le Système d'information.

La méthode itérative est un peu plus gourmande en mémoire qu'une formule mais ça devrait quand même fonctionner.

Un grand merci à vous pour vos conseils ainsi qu'à ilemaths.net !


Géofino