Donc voila..
Dans une semaine j'ai les examens.. et ayant loupé  un bon mois l'école
je n'ai pas pu apprendre a résoudre un system,e.. quelqu'un
est capable de m'expliquer svp??

voila un exemple

2x+y-z=1
x+2y+z=8
3x-y+2z=7


merci beaucoup

Salut Simon !

La première étape, c'est de choisir une inconnue(le plus
souvent, on commence dans l'ordre, donc par les x, mais
pas forcément) et une ligne  dite "pivot"  qu'on utilisera
pour faire disparaître l'inconnue choisie dans toutes
les autres lignes.

Je vais choisir la première ligne mais tu peux prendre n'importe
laquelle
(d'ailleurs, ici, je te conseille de refaire les calculs en choisissant la 2^e
ligne, car le coefficient de x est égal à 1 ; tu verras : ça simplifiera
les calculs)

L'idée, c'est de remplacer la ligne L₂ par la "bonne" combinaison
linéraire de la ligne L₂ et de la ligne pivot, qui est
L₂ ; la bonne combinaison étant celle qui permettra
de ne plus avoir de terme en x.
Ici, la combinaison 2*L₂ - L₁ marche, puisqu'on
obtient (2x+4y+2z)-(2x+y-z)=2*8-1
i.e. 3y+3z=15.
En simplifiant, on obtient  la  ligne 2 du nouveau système (qui est
équivalent au système de départ) :
L'₂ : y+z=5

De même, pour faire disparaître les x dans L₃, je remarque
que je peux calculer 2*L₃-3*L₂.
Alors, on obtient : (6x-2y+4z)-(6x+3y-3z)=7*2-1*3
i.e. L'₂ : -5y+7z=11

Bref, tu es ramené à résoudre un nouveau système (équivalent au premier)
:
2x+y-z=1
y+z=5
-5y+7z=11

Maintenant, tu ne touches plus la première ligne.
Et si tu regrades les edux lignes suivantes, tu es ramené à résoudre
un système de deux équations (donc une équation de moins que dans
le système de départ) à deux inconnues (encore une de moins...) Et
bien, tu vas appliquer exactement la même méthode :
Choix de l'inconnue à faire "disparaître" dans les équations suivantes
: par exemple y.
Choix de la nouvelle ligne pivot : par exemple L'₂

Et on remplace L'₃ par une combinaison linéaire de L'₃
avec la nouvelle ligne pivot, qui est L'₂

Ici, en calculant L'₃+5L'₂, on obtient
(-5y+7z)+(5y+5z)=11+5*5
i.e. 12z=36
i.e., après simplification L''₃ : z=3

Bref, le système obtenu est :

2x+y-z=1     L₁
y+z=5          L'₂
z=3           L''₃

Que tu résous sans problème
-->L''₃ te donne z, mais en général, tu as une éqation du type az=b, et tu
déduis que z=b/a)
-->de  L'₂ et de la valeur de z tu déduis que y=2
-->de L₁ et des valeurs de z et y tu déduis que x=1

Comme je te le disais, il n'y a pas qu'une seule façon de résoude
le même système (à chaque étape, deux choix : l'inconnue et
la ligne pivot).

J'espère avoir pu t'éclairer un peu !
Il ne te reste plus qu'à faire plein plein plein d'exercices,
et d'être vigilent dans tes calculs...

Bon courage !

Plusieurs techniques existent mais voici les 2 plus utilisées.

2x+y-z=1
x+2y+z=8
3x-y+2z=7

Première façon:

Tirer une variable d'une des 3 équations:
Par exemple:

2x+y-z=1 -> z = 2x + y - 1

Remplacer cette variable par son équivalent dans les 2 autres équations, ici
cela donne:

x+2y+(2x+y-1)=8
3x-y+2(2x+y-1)=7

->
3x + 3y = 9
7x + y = 9

On est donc ramené à un système de 2 équation à 2 inconnues.

On tire une des variables d'une des équations.
Par ex:
7x + y = 9   -> y = 9 - 7x

Remplacer cette variable par son équivalent dans l'autre équation, ici
cela donne:

3x + 3y = 9
x + y = 3

x + (9 - 7x) = 3
x - 7x = 3 - 9
-6x = -6
x = 1

On déduit les valeurs des autres variables en remplaçant la valeur de
la variable déterminée dans des équition qui si prètent:

Ici:
x + y = 3
1 + y = 3
y = 2

et enfin :
z = 2x + y - 1
z = 2 + 2 - 1
z = 3

Regroupement des résultats:
x = 1
y = 2
z = 3
----------------------------------
Deuxième façon:

2x+y-z=1     (1)
x+2y+z=8    (2)
3x-y+2z=7   (3)

On essaie d'ajouter ou soustraire les équations entre-elles (après
les avoir éventuelleemnt multiplié par des constantes) pour faire
disparaître une des variables.

Par exemple:
(1) + (2) ->
5x + z = 8    (4)    (y a disparu)

On essaie en utilisant l'équation non encore utilisée de faire
disparaître la même variable:

Par exemple:
2x+y-z=1     (1)
x+2y+z=8    (2)

2*(1) - (2) ->

4x + 2y - 2z - (x + 2y + z) = 2 - 8
->
4x + 2y - 2z - x - 2y - z = -6
3x - 3z = -6
x - z = -2    (5)

En regroupant (4) et (5), on a:

5x + z = 8       (4)
x - z = -2       (5)

Système de 2 équations à 2 inconnues.

Ici, en faisant (4) + (5), on a:
6x = 6
x = 1
et ensuite (5) -> 1 - z = -2
z = 3
et enfin, (1) -> 2x+y-z=1  
2 + y - 3 = 1
y = 2

Regroupement des résultats:
x = 1
y = 2
z = 3
----------------------------------
Sauf distraction.      

wow.. titi et jp vraiment merci beaucoup pour vos réponse super complete..



mais jp j'ai essayé de comprendre mais j'ai vraiment du mal
lol.. je doit pas etre au meme niveau..

sinon titi j'ai réussi a suivre jusque a y+z = 5 mais le reste aight
j'suis dans les choux.. désolé mais mon niveau en math n'est
pas tres élevé.. je comprend pas pourquoi tu fai 2*L2 - L1 et aps
quelque chose d'autre..


merci encor

Coucou

Super , grace à cet énonce, j'ai pu savoir comment on faisait pour
résoudre un système d'équation à 3 inconnues car c'est
un domaine que j'ai jamais étudié à l'école moua...
Merci !!!!!
A+
Nathalie

Cool Nath


D'où l'intérêt d'avoir parfois des topics "propres" pas éparpillés
en mille topics différents ni pollués par d'autres questions
qui n'ont rien à voir


C'est bien de savoir que parfois les réponses données sur ce forum ne sont
pas que seulement utiles à la personne qui a posé la question (même
si c'est déjà une bonne chose )

$A++

Re !

En fait, si ton pivot est la ligne L₁ : ax+by+...=d
et que tu veux faire disparaître les x dans la ligne
L₂ : px+qy+...=r
alors, le truc, c'est de
1. multiplier L₁ par le coefficient de x dans L₂
(ici c'est p)
2. multiplier L₂ par le coefficient de x dans L₁
(ici c'est a)
3. faire la soustraction.

C'est magique : fait-le :
p*L₁ -a*L₂ te donne :
p*a*x + p*b*y - a*p*x - a*q*y + ...=p*d-a*r
et donc les termes en x se simplifient !!

Donc la combinaison linéaire n'est pas faite au hasard !
Un détail important : n'oublie pas de faire les mêmes opérations
dans le second membre aussi (ici, tu obtiens p*d-a*r)

Pour ce qui est du message de J-P, tu remarqueras que sa seconde méthode
est la même que la mienne. C'est la méthode dite du pivot de
Gauss.
Et tu peux aussi remarquer que dans les deux méthodes, on a un système
de trois équations à trois inconnues, et on se ramène à un système
de deux équations à deux inconnues, c'est-à-dire qu'on
se ramène à un système plus simple. C'est toujours le cas (si
tu pars de 4 équations à 4 inconnues, tu te ramène à 3 équations
/ 3 inconnues et ainsi de suite...

Voilà pour la méthode du pivot de Gauss...

Pour ce qui est de la première méthode de J-P, je suis sûre qu'en
la reprenant au calme, tu devrais la comprendre !
Elle est basée sur une technique vue au collège pour les système de 2
équations à deux inconnues : la technique de substitution

L'idée c'est d'exprimer une inconnue en fonction de toutes les
autres : ici, J-P te proposait par exemple d'exprimer z en fonction
de x et y :z = 2x + y - 1
Mais dès que tu as fait cela, tu peux remplacer tous les z que
tu rencontres dans les deux autres équations par 2x + y - 1.
Donc dans ces deux équations, tu n'as plus que deux inconnues
!
Pour le résoudre, tu peux par exemple utiliser à nouveau cette méthode
de substitution : c'est ce qu'a fait J-P.

En le résolvant, tu trouves les valeurs de x et y solutions, et puisque

z = 2x + y - 1, tu peux calculer la valeur de z également !

Reprends tout ça au calme, et n'hésite pas  à redemander, si tu as encore
des questions !

@+

ah YES.. J'AI ENFIN COMPRIS.. GRACE A VOUS.. MERCI BEAUCOUP


pardon pour les majuscule :O

Super