Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup ArithmétiqueTopics traitant de arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Reste de 121^1256 dans la division par 7

Posté par
charmuzelle 30-06-08 à 18:03

Bonsoir à vous tous et toutes (rebonsoir à certains )

Je dois trouver le reste de 121^1256 dans la division par 7.

Cet exercice vient juste après les règles de calcul sur les congruences et je pense qu'il va falloir appliquer :

si a \equivb [n] alors pour tout k entier naturel, a^k \equiv b^k [n]

Bien sûr, 121 est le carré de 11 et 11 \equiv 4 [7]

Seulement, à l'étape 11^{2512} \equiv 4^{2512} [7], je ne suis pas très avancée.

Bien sûr, 4 est lui aussi un carré parfait, mais que faire du reste par 7 de 2^{5024} ?

Je fais sûrement fausse route.

Dois-je au contraire essayer de faire baisser les puissances ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Reste de 121^1256 dans la division par 7 30-06-08 à 18:09

Bonjour,

121\equiv 2\[7]

121^{1256}\equiv 2^{3\times 418+2}\equiv 4{(2^3)}^{418}\equiv 4\;[7]

Posté par
charmuzellere : Reste de 121^1256 dans la division par 7 30-06-08 à 18:29

Cailloux, je suis désolée, je n'ai pas compris la dernière étape...

Posté par
Mariette Correcteurre : Reste de 121^1256 dans la division par 7 30-06-08 à 18:32

Bonjour,

8 est congru à 1 modulo 7

Posté par
charmuzellere : Reste de 121^1256 dans la division par 7 30-06-08 à 18:37

...Il doit me manquer certaines connaissances, parce que je ne vois pas pourquoi un truc multiplié par une puissance d'un nombre qui est congru à 1 modulo 7 serait congru à ce truc modulo 7...

Merci Mariette, je vais bûcher...

Posté par
Tigweg Correcteurre : Reste de 121^1256 dans la division par 7 30-06-08 à 18:48

Rebonsoir charmuzelle et bonsoir aux autres,


Citation :
, parce que je ne vois pas pourquoi un truc multiplié par une puissance d'un nombre qui est congru à 1 modulo 7 serait congru à ce truc modulo 7...



->C'est la compatibilité de la congruence avec la multiplication:

Si x = a (mod 7) et si y = b (mod 7) alors y^k=b^k (mod 7) et x.y^k=a.b^k (mod 7)

Posté par
charmuzellere : Reste de 121^1256 dans la division par 7 01-07-08 à 17:32

...Ici donc comme on a 2^3 \equiv 1 [7]
on a donc (2^3)^{418} \equiv 1^{418} [7]
Mais comme 1^{418} = 1, ça donne (2^3)^{418} \equiv 1 [7]

et par conséquent 4 \times (2^3)^{418} \equiv 4 \times 1 [7]

C'est là que mon prof de math sup se foutait gentiment de moi en disant "On ne peut rien vous cacher !"

Hem, ça ne coule pas de source pour moi. Voyons si j'ai compris sur cet autre exercice : il faut trouver le reste de la division euclidienne de 100177 par 3.

Comme 1001 = 999 + 2, on a 1001 \equiv 2 [3]
donc 1001^{77} \equiv 2^{77} [3]
donc 1001^{77} \equiv 2^{2 \times 38 + 1} [3]
donc 1001^{77} \equiv (2^2)^{38} \times 2 [3]
donc 1001^{77} \equiv 4^{38} \times 2 [3]
donc 1001^{77} \equiv 1^{38} \times 2 [3]
donc 1001^{77} \equiv 2 [3]

Le reste cherché est 2. Est-ce correct ? Vraiment, il va me falloir de l'entraînement. Je vous remercie tous, particulièrement mon deuxième fois sauveur dans la même journée Tigweg...

J'ai un autre exercice tout simple qui me pose problème, voir le nouveau post... Très bonne soirée à tous.

Posté par
cailloux Correcteurre : Reste de 121^1256 dans la division par 7 01-07-08 à 17:46

Bonjour,

Toutafé bon

Posté par
Tigweg Correcteurre : Reste de 121^1256 dans la division par 7 01-07-08 à 18:12

Mais avec grand plaisir en ce qui me concerne, charmuzelle!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Reste de 121^1256 dans la division par 7 01-07-08 à 18:17

Une petite remarque additionnelle:

c'est justement la compatibilité de la congruence avec l'addition et la multiplication de Z qui permet de définir une addition et une multiplication dans l'ensemble quotient Z/nZ, et ce pour tout n non nul.

Posté par
charmuzellere : Reste de 121^1256 dans la division par 7 02-07-08 à 18:32

Oui, merci !! Justement j'en arrive à Z/nZ dans la leçon. Je vais peut-être pouvoir ensuite continuer à plancher sur le sujet d'Algèbre de l'agreg interne 2007. Avec un bon professeur comme toi, je progresse !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Reste de 121^1256 dans la division par 7 02-07-08 à 19:15

Merci encore!


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !