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Niveau Prepa (autre)
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Rotationnel

Posté par
matheux14
23-01-22 à 11:08

Bonjour,

1) On considère le champs de vecteurs :

V ~:~ \R^3 \to \R^3 \\ (x ; y ; z) \mapsto \left( \dfrac{x}{1+r²}~; ~ \dfrac{y}{1+r²} +\beta y²z ~; ~ \dfrac{\alpha z}{1+r²}+\dfrac{\beta y^3}{3} \right)\alpha , ~\beta \in \R   et on pose r  = \sqrt{x²+y²+z²}

a) Montrer que \forall \beta \in \R, ~rot V = 0 \iff \alpha = \alpha_0\alpha_0 est à déterminer.

b) On prend \alpha = \alpha_0. En déduire que V dérive d'un potentiel et déterminer le potentiel scalaire f pour V = grad f.

c) On pose \beta = 0.
Calculer f.

2)  *** lafol > UN exo = UN topic et réciproquement ***
Réponses

1) Soit V_1 = \dfrac{x}{1+r²} ;

V_2 = \dfrac{y}{1+r²} +\beta y²z et

V_3 =  \dfrac{\alpha z}{1+r²}+\dfrac{\beta y^3}{3}

On a : \vec{V} = V_1 \vec{e_1}+V_2 \vec{e_2} + V_3 \vec{e_3}

\vec{rot}V = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial }{\partial x} ~~~~ V_1 \\\\  \dfrac{\partial }{\partial y} ~~~~ V_2 \\\\ \dfrac{\partial }{\partial z} ~~~~ V_3 \\\\\end{pmatrix}

\vec{rot} V = \left(\dfrac{\partial V_3}{\partial y} - \dfrac{\partial V_2}{\partial z}\right)\vec{e_1}+\left(\dfrac{\partial V_1}{\partial z} - \dfrac{\partial V_3}{\partial x}\right)\vec{e_2} + \left(\dfrac{\partial V_2}{\partial x} - \dfrac{\partial V_1}{\partial y}\right)\vec{e_3}

*\dfrac{\partial V_3}{\partial y} = -\dfrac{2y\alpha z}{r^4 + 2r²+1} + \beta y²

* \dfrac{\partial V_2}{\partial z} = - \dfrac{2zy}{r^4 + 2r²+1}+\beta y²

* \dfrac{\partial V_1}{\partial z} = -\dfrac{2zx}{r^4+2r²+1}

* \dfrac{\partial V_3}{\partial x} = -\dfrac{2\alpha zx }{r^4+2r²+1}

* \dfrac{\partial V_2}{\partial x} = - \dfrac{2xy}{r^4+2r²+1}

* \dfrac{\partial V_1}{\partial y} = - \dfrac{2xy}{r^4+2r²+1}

\vec{rot} V = \left(\dfrac{\partial V_3}{\partial y} - \dfrac{\partial V_2}{\partial z}\right)\vec{e_1}+\left(\dfrac{\partial V_1}{\partial z} - \dfrac{\partial V_3}{\partial x}\right)\vec{e_2} + \left(\dfrac{\partial V_2}{\partial x} - \dfrac{\partial V_1}{\partial y}\right)\vec{e_3} =\left(-\dfrac{2y\alpha z}{r^4 + 2r²+1} + \beta y² +\dfrac{2zy}{r^4 + 2r²+1}-\beta y² \right)\vec{e_1} + \left(-\dfrac{2\alpha zx }{r^4+2r²+1}+\dfrac{2\alpha zx }{r^4+2r²+1}\right)\vec{e_2}+\left(- \dfrac{2xy}{r^4+2r²+1} + \dfrac{2xy}{r^4+2r²+1}\right)\vec{e_3}   \\ = \left(\dfrac{2yz(1-\alpha)}{r^4 + 2r²+1} \right)\vec{e_1} + \left(\dfrac{2yx(\alpha - 1)}{r^4 + 2r²+1} \right)\vec{e_2}

\vec{rot}V = 0 \iff \left(\dfrac{2yz(1-\alpha)}{r^4 + 2r²+1} \right) = 0 ~\text{ou} ~\left(\dfrac{2yx(\alpha - 1)}{r^4 + 2r²+1} \right)= 0 \iff \alpha = \alpha_0 = 1

Posté par
matheux14
re : Rotationnel 23-01-22 à 11:45

La question 1

Citation :
b) On prend \alpha = \alpha_0. En déduire que V dérive d'un potentiel et déterminer le potentiel scalaire f pour que V = grad f.

Posté par
Pirho
re : Rotationnel 23-01-22 à 14:11

Bonjour,

je crois qu'il y a une petite coquille dans l'expression finale du rotationnel  

c'est   \dfrac{2\alpha x z-2xz}{r^4+2r^2+1}\vec{e_2}

Posté par
matheux14
re : Rotationnel 23-01-22 à 14:30

D'accord mais comment faire pour la 1-b ?

Posté par
lake
re : Rotationnel 23-01-22 à 14:57

Bonjour,

  1)b) Il faut intégrer ; par exemple :

     \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{x}{1+r^2}

d'où f(x,y,z)=\dfrac{1}{2}\ln (1+r^2)+g(y,z)

Tu détermines g avec les deux autres équations.

Posté par
matheux14
re : Rotationnel 23-01-22 à 16:11

Je trouve f(x ; y ; z) = \dfrac{1}{2} \ln(1+r²) + \dfrac{1}{3} \beta y²z

Posté par
lake
re : Rotationnel 23-01-22 à 16:13

C'est plutôt 3 la puissance de y

Posté par
lafol Moderateur
re : Rotationnel 23-01-22 à 18:03

Exercice 2 ici : Rotationnel 2

Posté par
lake
re : Rotationnel 23-01-22 à 20:27

Je reviens sur cet exercice où la question c) me laisse dubitatif; dans cette question :

  - Est-ce que \alpha =1 ? Auquel cas , il suffit de remplacer \beta par 0 dans le résultat de la question b).

  - Est-ce que \alpha\not =1 ? Auquel cas V ne dérive pas d'un potentiel. Il n'y a pas de solution.

A la réflexion, c'est peut-être ce qui est attendu

Posté par
lafol Moderateur
re : Rotationnel 23-01-22 à 23:03

bonsoir
personnellement je comprends la question c comme une suite de la b), donc dans le cas alpha = alpha zéro (sinon quel sens donner à f ?)

Posté par
lake
re : Rotationnel 23-01-22 à 23:18

Bonsoir lafol,

Je comprends la question c) "autrement" :

  a)
  b)
  c)

En toute logique, c) n'est pas un sous cas de b).
Sur le tard, j'ai imaginé c)  libellée de la façon suivante :

  c) On suppose \beta=0.
       Discuter suivant les valeurs de \alpha, l'existence et la valeur éventuelle de f.

C'est effectivement une interprétation comme une autre

Posté par
matheux14
re : Rotationnel 24-01-22 à 12:17

Du coup je fais comment pour cette question ?

Posté par
lake
re : Rotationnel 24-01-22 à 13:41

Tu regardes les échanges au dessus : lafol et moi avons des interprétations différentes.
Tu te fais une opinion et tu réagis en conséquence.
Moi, je ne me mouille pas

Posté par
lafol Moderateur
re : Rotationnel 24-01-22 à 15:16

en fait j'avais lu vite, et je pensais que le b) visait juste à donner alpha pour qu'il existe un f, et que le c) visait au calcul explicite de f quand il existe
quand on lit exactement ce qui est écrit (mais est-ce une copie fidèle de l'énoncé ?), ça ne tient plus trop debout, comme le dit lake



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