salut
a)dans le repere (A,AB,AC), on a :
A(0,0)
B(1,0)
C(0,1)
jusque la pas de probleme, non ?

I milieu de [BC] donc coordonnees de I ((xB+xC)/2,yB+yC)/2) donc I(1/2,1/2)

de meme J(0,1/2)
et K(1/2,0)

equation de la droite (BJ) :
comme xB different de xJ son equation est de la forme :
y=ax+b
ou a=(yJ-yB)/(xJ-xB)
donc a=-1/2
donc y=-x/2+b
comme B est sur la droite (BJ), les coordonnees de B verifient cette equation
donc 0=yB=-xB/2+b=-1/2+b
donc b=1/2
donc (BJ) : y=-x/2+1/2

de meme (CK) : y=-2x+1

G est sur (CK) et sur (BJ).
donc ses coordonnees verifient l'equation de (BJ) ET
celle de (CK).
tu arrives a un systeme de 2 equations a 2 inconnues.
solution  G(1/3,1/3)

b)on veut montrer que G appartient a (AI) sans utiliser la geometrie, qu'a cela ne tienne :
equation de (AI)
y=x

on voit que les coordonnees de G verifient l'equation de (AI) donc G est sur (AI).

GA+GB+GC= ???
ici ce sont des vecteurs :
GA(xA-xG,yA-yG)

donc GA(-1/3,-1/3)
GB(2/3,-1/3)
GC(-1/3,2/3)
soit u=GA+GB+GC
u(x(u),y(u))
donc x(u)=x(GA)+x(GB)+x(GC)
et y(u)=y(GA)+y(GB)+y(GC)
en remplacant par les valeurs x(u)=0 et y(u)=0
donc u est le vecteur nul.
donc GA+GB+GC=0

meme chose pour AG=2/3*AI : tu calcules les coordonnees du vecteur AG, puis celle de AI et tu verifie que x(AG)=2/3*x(AI) et y(AG)=2/3*y(AI)
pareil pour les 2 autres egalites.

a+