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Serie Chro AR(1) model

Posté par
MarieBreizh 02-03-20 à 18:27

Il s'agit d'un projet en cours de Série Chronologiques (université en Ecosse).
Avec un AR(1) process avec moyenne inconnue mu, défini par :
Y_t -  \mu = \alpha  (Y_{t-1} -  \mu) + Z_t

avec Zt bruit blanc de variance égale à 1 et -1<α<1.
Dans le projet on va examiner quelques propriétés de la moyenne  \bar{Y} = \frac{1}{n}(Y_1 + ... + Y_n) comme estimateur de la moyenne mu.

1. Montrer que Y barre est un estimateur non biaisé de mu

2.  Var(\bar{Y}) = \frac{1}{(1-\alpha ^2)n} + \frac{2\alpha }{(1-\alpha )(1-\alpha ^2)n^2}\left[(n-1) - \frac{\alpha (1-\alpha ^{n-1})}{1-\alpha } \right]

J'ai beaucoup de mal surtout à répondre à la deuxième question. Si quelqu'un pouvait me mettre sur la piste.

Merci beaucoup !

Posté par
lionel52re : Serie Chro AR(1) model 02-03-20 à 20:34

Hello !
Important Y0 est il donné?

Posté par
MarieBreizhre : Serie Chro AR(1) model 02-03-20 à 20:46

Non, aucune information sur Y0

Posté par
MarieBreizhre : Serie Chro AR(1) model 02-03-20 à 21:07

Pour la deuxième question j'en au stade de cette expression mais je sais pas quoi en faire
(les variables Y1 à Yn étant dépendantes):
Var(\sum_{i=1}^{n}{Y_i}) =  \sum_{i=1}^{n}{Var(Y_i}) +2 \sum_{1<i<j<n}{Cov(Y_i,Y_j)}

Posté par
Alexiquere : Serie Chro AR(1) model 02-03-20 à 23:08

Bonsoir,

en passant à l'espérance ta relation de récurrence, tu obtiens une suite géométrique et à la variance, une suite arithmético-géométrique (avec de l'indépendance que tu ne précises pas mais ça serait bien quand même ^^...). Tu peux donc obtenir des  expressions explicites de \mathbb{E}(Y_t) et var(Y_t)

Posté par
MarieBreizhre : Serie Chro AR(1) model 02-03-20 à 23:10

Hum, j'ai pas tout compris... Je ne suis pas très douée avec les suites
De plus mes variables ne sont pas indépendantes

Posté par
Alexiquere : Serie Chro AR(1) model 03-03-20 à 00:07

Si ton bruit suit bien une loi normale centrée réduite, on a E(Y_t)-\mu= \alpha(E(Y_{t-1})-\mu) donc (E(Y_t)-\mu)_t est bien géométrique de raison \alpha non ?
Par contre, pour conclure, j'ai besoin de E(Y_0)=\mu ou bien de "asymptotiquement" sans biais et non pas sans biais...
Et sans hypothèses d'indépendances, je ne pourrai pas t'aider davantage pour la variance.

Posté par
MarieBreizhre : Serie Chro AR(1) model 03-03-20 à 09:37

Je n'ai aucune de ces deux informations
Mais peut on passer par des propriétés des séries chronologique comme la stationarité (stationarity en anglais) au lieu de passer par les suites géométriques ?

Posté par
Alexiquere : Serie Chro AR(1) model 03-03-20 à 09:57

Aucune idée, je m'y connais en suites, pas en séries temporelles... Et comme tu es en licence de maths et que les suites géométriques, c'est du programme de 1ère S, je pensais que tu serais davantage cliente, dommage

En attendant, ta relation est de la forme u_{n+1}=\alpha u_n+b_n avec u_n=Y_n-\mu et b_n=Z_n, c'est donc bien une suite linéaire récurrente d'ordre 1... Si tu n'as pas de conditions initiales pour une suite par récurrence, on ne sait pas tout...

Si tu peux demander plus de précisions à ton tuteur de projet... En tout cas, pour la variance, on te donne l'expression donc tu peux essayer la voie que je te propose et vérifier...

Posté par
MarieBreizhre : Serie Chro AR(1) model 03-03-20 à 10:09

Je suis pas réellement en licence de math, je suis en licence de statistiques et informatique mais ce n'est pas proposé dans les choix. Je suis un double cursus à l'étrangers en Statistiques.
Je pense qu'il faut utiliser les propriétés des Séries chro donc il me faudrait quelqu'un calé en Stats. Une des personne suivant ce post correspond elle à ma recherche ? ^^

Pour la variance je vais essayer mais je ne vois pas trop...

Posté par
Alexiquere : Serie Chro AR(1) model 03-03-20 à 10:32

ok, pas de soucis, je te conseille de poster quand tu ne trouves pas preneur ici (en stat).

Posté par
lionel52re : Serie Chro AR(1) model 03-03-20 à 10:41

Bon  je pose X_n = Y_n - \mu


Alors (méthode usuelle) X_{n} = \alpha X_{n-1} + Z_n et en divisant la relation par \alpha^n

X_n/\alpha^n - X_{n-1}/\alpha^{n-1} = Z_n/\alpha^n

En sommant de 1 à n :

X_n/\alpha^n - X_0 = \sum_{i=1}^n Z_i/\alpha^i

Ce qui te donne X_n = \alpha^n X_0 + \alpha^n \sum_{i=1}^n Z_i/\alpha^i


Maintenant sauf erreur calculons  pour n \leq m
E[X_n X_m] = \alpha^{n+m}X_0 + \alpha^{n+m} \sum_{i = 1}^n 1/\alpha^2^i


Ensuite
E[(\hat{Y} - \mu)^2] = \frac{1}{n^2}E[\sum_{i,j=1,...n}X_iX_j]

Posté par
lionel52re : Serie Chro AR(1) model 03-03-20 à 10:43

Par contre petite erreur :
E[X_n X_m] = \alpha^{n+m}Var(X_0) + \alpha^{n+m} \sum_{i = 1}^n 1/\alpha^2^i

Posté par
MarieBreizhre : Serie Chro AR(1) model 03-03-20 à 11:30

Hum, je ne vois pas trop où cela nous mène
Surtout que je n'ai pas X_0

Posté par
MarieBreizhre : Serie Chro AR(1) model 03-03-20 à 11:31

Je suis complètement perdue :/

Posté par
lionel52re : Serie Chro AR(1) model 03-03-20 à 11:48

T'es obligé de connaitre la variance de ton 1er terme ou un truc du genre, tu peux screener ton énoncé voir si tu oublirais pas une information?

Et si Y1 est constant, si Y1 n'est pas égal à mu, bah (Y1 + ... + Yn)/n n'est pas forcément de moyenne mu

Posté par
MarieBreizhre : Serie Chro AR(1) model 03-03-20 à 11:51

Voilà le scan de l'énoncé :

** image supprimée **

Posté par
Alexiquere : Serie Chro AR(1) model 03-03-20 à 12:01

Des infos ... En particulier, ton bruit blanc suit communément une loi normale centrée et ton premier terme X_1 ou Y_1 semble être déterministe... Et si tu n'aimes pas les suites, enjoy yourself !

Puisque ton énoncé parle d'un "AR process" ie d'un processus auto regressif de type 1, quelle définition en as-tu ? parce que ça, nous, on en sait rien à vrai dire...

Posté par
lionel52re : Serie Chro AR(1) model 03-03-20 à 12:07

Bah de toute façon je pense que tu peux partir de chez moi

E[X_n X_m] =  \alpha^{n+m} \sum_{i = 1}^{min(n,m)} 1/\alpha^2^i

Et vu que y a du min(n,m) qui se ballade...
n^2 E[(\hat{Y} - \mu)^2] E[\sum_{i,j=1,...n}X_iX_j] = 2E[\sum_{j=1}^n \sum_{i = 1}^j X_i X_j] - E[\sum_{j=1}^n X_i^2]

Puis tu as du calcul à voir si ça fonctionne


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