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Niveau autre
série harmonique = impair/pair
Posté par Monkeyrex
Bonjour,
j'ai un problème sur un exercice d'entrainement en vue de ma rentrée en sup
Pour n > 1, on note Sn = 1 + 1/2 + ... + 1/n
Montrer que pour tout n >= 2, Sn peut s'écrire comme le quotient d'un nombre impair par un nombre pair.
(Indication : On pourra raisonner par récurrence forte en distinguant les cas n pair et n impair)
L'initialisation ne pose pas de problème ( 1 + 1/2 = 3/2 
)
Hérédité : On suppose pour tout k entier appartenant à [1;n] la proposition est vraie
1) cas n pair : Soit (a,b,c) appartenant à N^3
on a n = 2a ; et Sn = (2b+1)/2c
Donc Sn+1 = Sn + 1/(n+1) = ((2b+1)(2a+1)+2c)/(2c(2a+1)) soit un impair pour un pair
2) cas n impair : j'ai essayé le même raisonnement sans succès et en cherchant j'ai lu qu'on pouvait séparer les pairs et les impairs pour arriver au résultat en utilisant la récurrence forte mais je ne vois pas du tout comment faire...
Merci beaucoup de vos réponses
bonjour : )
plusieurs soucis,
la but est de montrer que S_n peut s'écrire comme le quotient d'un nombre impair par un nombre pair
Citation :
Hérédité : On suppose pour tout k entier appartenant à [1;n] la proposition est vraie
Hérédité : On suppose pour tout k entier appartenant à [1;n] la proposition est vraie
non pas de sens, supposer que la proposition est vraie pour tout entier k de {1, ..., n} te posera des soucis, lesquels ?
qu'est ce que n ?
l'hérédité s'écrit plutôt :
on suppose que pour UN k >= 2 la proposition est vraie
le but est maintenant de montrer que la proposition est vérifiée au rang k + 1
quand k est pair,
ok
quand k est impair
a = 2p + 1
b = 2p'
k = 2p''
développe le numérateur, et observe que b(k + 1) est le produit de deux nombres pairs...
Bonjour,
Je pense que Monkeyrex a écrit
Citation :
On suppose pour tout k entier appartenant à [1;n] la proposition est vraie
à cause de l'indication récurrence forte .
On suppose pour tout k entier appartenant à [1;n] la proposition est vraie
Cela dit, je pense aussi que c'est inutile, mais pas dénué de sens.
a(k+1)+b = (2p+1)*(k+1)+2p or k est impair donc k+1 est pair et le numérateur est alors pair, alors qu'il devrait être impair...
J'ai essayé cette façon de faire mais elle ne marche pas
Effectivement j'ai introduit l'hérédité pour utiliser la récurrence forte comme stipulé dans l'énoncé
Il faut forcément utiliser une récurrence forte puisque c'est indiqué (après, peut être qu'il existe d'autres méthodes ) mais le problème c'est que je ne sais pas où et à mon avis cela intervient dans la résolution du cas n impair
oui j'ai sauté le mot "forte" désolé...
donc on suppose pour n >= 2
Sn = pn/qn, avec pn impair, qn pair
séparer les cas pairs et impairs,
S2n = [1 + 1/3 + ... + 1/(2n - 1)] + [1/2 + 1/4 + ... + 1/(2n)]
au vu de la conjecture sur Sn, S2n = a/b + Sn/2 = a/b + pn/(2qn)
sans problème pour ce cas, on obtient S2n = impair/pair
ensuite,
S2n+1 = S2n + 1/(2n + 1)
comme on a montré précédemment que S2n c'est un impair/pair
on obtient ici (impair*impair + pair = impair) au numérateur et c'est gagné...
Euh, mdr_non, que sais-tu de a/b dans ton écriture de S2n ? J'ai bien l'impression que ton raisonnement a encore un gros trou.
Il y a un argument simple classique, sans récurrence : pour , soit
la plus grande puissance de
inférieure ou égale à
. Alors, en mettant à part
dans
on a
, où
est impair.
salut Robot : )
que sais-je de a/b ?
b est un produit d'impair, donc b impair, et a est entier,
elle est magnifique celle ou l'on encadre avec les puissances de 2 !
et
dans mon message précédent
on suppose pour tout k dans [2, n] que la propriété est vérifiée
n pair,
S[sub]2p = ... Sn = impair/pair
n impair
S2p+1 = S2p + 1/(2p + 1)
... c'est gagné[/sub]
Bonsoir,
@mdr_non
La démonstration de Robot est très bien, mais la tienne avec le "découpage" de S2p en deux sommes n'est pas mal non plus
Cependant, pour la rédaction de l'hérédité, je mettrais plutôt du n+1 après "On suppose que pour tout k de [2;n] la propriété est vérifiée".
Si n+1 pair n+1 = 2p et la suite identique au message de 15h47 (qui utilise la propriété au rang p ).
Si n+1 impair n+1 = 2p+1 et Sn+1 = Sn + 1/(2p+1) et on utilise la propriété au rang n .
merci Sylvieg : )
Citation :
Cependant, pour la rédaction de l'hérédité, je mettrais plutôt du n+1 après "On suppose que pour tout k de [2;n] la propriété est vérifiée".
Si n+1 pair n+1 = 2p et la suite identique au message de 15h47 (qui utilise la propriété au rang p ).
Si n+1 impair n+1 = 2p+1 et Sn+1 = Sn + 1/(2p+1) et on utilise la propriété au rang n .
Cependant, pour la rédaction de l'hérédité, je mettrais plutôt du n+1 après "On suppose que pour tout k de [2;n] la propriété est vérifiée".
Si n+1 pair n+1 = 2p et la suite identique au message de 15h47 (qui utilise la propriété au rang p ).
Si n+1 impair n+1 = 2p+1 et Sn+1 = Sn + 1/(2p+1) et on utilise la propriété au rang n .
oups, oui je suis d'accord !
bonne soirée : )