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Séries et suites

Posté par
verset 01-04-21 à 01:34

Bonsoir, je suis entrain de préparer pour un concours et j'ai mal de trouver la solution de cet question :

La série k1\frac{(-1)^{k}}{k} converge vers : A_-ln2  B_0  C_ln2  D_\frac{-3}{2}


en fait j'ai déjà une solution mais je n'arrive pas à comprendre. Je ne sais pas si il me faut la mentionner ici ou non...

De toute façon, merci d'avance

Posté par
Zormuchere : Séries et suites 01-04-21 à 01:55

Bonjour

écrivons  u_k = \dfrac{(-1)^k}{k}  . Alors ta série est  \sum_{k\ge 1} u_k

Il est facile de montrer que cette série alternée converge. Mais ça, on s'en fiche. L'énoncé révèle déjà qu'elle converge, et il faut être efficace

Maintenant, si tu regroupes les termes par deux, c'est-à-dire en écrivant  \sum_{k\ge 1}\big( u_{2k-1}+u_{2k}\big), tu verras qu'il n'y a qu'une seule des valeurs vers laquelle ta suite peut converger

Posté par
Zormuchere : Séries et suites 01-04-21 à 01:56

Pardon j'ai dit une bêtise pour le moment. Je reviens rapidement avec quelque chose de mieux

Posté par
Zormuchere : Séries et suites 01-04-21 à 02:06

Finalement, ce que je t'ai dit de faire peut éliminer deux des propositions. Pour la dernière, il faudra utiliser des propriétés plus poussées sur les suites alternées. Si tu essaies de tracer les trois premiers termes de ta série, tu verras bien pourquoi une des solutions n'est pas envisageable

Posté par
Zormuchere : Séries et suites 01-04-21 à 02:10

En fait, vu que le but de l'exercice est juste de donner la réponse sans justification, il est même préférable d'éliminer directement 3 propositions juste en traçant et visualisant l'allure de la série

Posté par
lionel52re : Séries et suites 01-04-21 à 11:31

Hello !

Le reste de rang n d'une série altérnée vérifie :

|\sum_{k=n}^{\infty} a_k| \leq |a_{k+1}|

Du coup |\sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k/k| \leq  1/3

Et le premier terme vaut -1

Donc -4/3 = -1 - 1/3 \leq S \leq -1 + 1/3 = -2/3

Posté par
Ulmierere : Séries et suites 01-04-21 à 12:37

Sans utiliser de série entière tu peux faire le bidouillage suivant :


\begin{array}{lcl} \\ \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k/k &=& \sum_{j=1}^n 1/(2j) - \sum_{j=1}^n 1/(2j-1)\\ \\ &=& -\sum_{j=1}^n \left(\frac{1}{2j}+\frac{1}{2j-1}\right) + 2\sum_{j=1}^n \frac{1}{2j}\\ \\ &=& -\sum_{j=1}^{2n} 1/j + \sum_{j=1}^n 1/j\\ \\ &=& -\sum_{j=n+1}^{2n} 1/j\\ \\ &=& -\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{n+j}\\ \\ &=& -\dfrac1n\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{1+j/n} \\ \end{array} \\

Le membre de droite tend (somme de Riemann) vers -\int_0^1 \dfrac{1}{1+x}dx = -[\ln(1+x)]_0^1 = -\ln(2), et celui de gauche vers la somme de ta série alternée.

Posté par
versetre : Séries et suites 01-04-21 à 14:45

Merci à tous. Mais je n'arrive toujours pas à comprendre
Est ce que quelqu'un peut me dire quel cours je dois prendre pour arriver à comprendre ceci ?

Posté par
lafol Moderateurre : Séries et suites 01-04-21 à 15:50

Bonjour
n'importe quel cours sur les séries numériques ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Séries et suites 03-04-21 à 21:15

Bonjour,

la série alternée \Large \boxed{\sum_{k\geqslant1}\underbrace{\boxed{\frac{(-1)^k}{k}}}_{u_k}} vérifie le critère spécial \Large \boxed{|u_k|\searrow0}

elle est donc convergente d'après le cours sur les séries alternées qui précise également les résultats suivants :

\Large \boxed{i} La somme \Large \boxed{S=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k}} a le signe de son premier terme \Large \boxed{u_1=-1<0} ce qui permet d'éliminer la réponse \Large \boxed{C=\ln2}.


\Large \boxed{i} Les deux suites de sommes partielles \Large \boxed{\left(S_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{k}\right)_{n\geqslant1}} et \Large \boxed{\left(S_{2n-1}=\sum_{k=1}^{2n-1}\frac{(-1)^k}{k}\right)_{n\geqslant1}} sont adjacentes de limite \Large S

on en déduit l'encadrement \Large \boxed{\forall n\geqslant1~~,~~S_{2n-1}\leqslant S\leqslant S_{2n}} et en particulier \Large \boxed{-1=S_1\leqslant S\leqslant S_2=-\frac{1}{2}}


ce qui élimine les réponses \Large \boxed{B=0} et \Large \boxed{D=-\frac{3}{2}} sauf erreur bien entendu


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