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Si pgcd(a,b)=1 alors pgcd(a+b,a-b) est inf. à 2
Posté par Hyung
Bonjour,
pgcd(a,b)=1
pgcd(a+b,a-b)
2
On a: pgcd(a+b,a-b)=pgcd(a+b,a-b+a+b)=pgcd(a+b,2a)=pgcd(a+b,a-b-a-b)=pgcd(a+b,-2b)=pgcd(a+b,2b)
Donc: pgcd(a+b,2a)=pgcd(a+b,2b)pgcd(2a,2b)=2
pgcd(a+b,2a)
càd 2pgcd(a+b,a-b).
Est-ce que ça marche?
Merci.
Ça me paraît correct. Une autre méthode :
Si a+b et a-b ne sont pas 1ers entre eux soit k un diviseur commun : a+b = km et a-b = kn d'où 2a = k(m+n) et 2b = k(m-n) donc k divise 2a et 2b. Le seul diviseur commun à 2a et 2b est 2 donc k = 2...
Le seul diviseur commun à 2a et 2b (autre que 1 bien sûr! j'avais oublié de préciser) est 2 car : pgcd(2a,2b) = 2 et entre 1 et 2 il n'y a pas d'autre diviseur commun possible.
Pour l'implication, plus généralement : d = pgcd(a,b) = pgcd(a,c) d pgcd(b,c) car d est un diviseur commun à a,b,c donc à b et c donc d pgcd (b,c) puisque pgcd(b,c) est le plus grand des diviseurs communs à b et c et que ce sont tous deux des entiers positifs.